Das Koch Fraktal
Von Marvin Borner, TGI 12.1Gliederung
- Fraktale
- Koch-Kurve
- Umfang
- Fläche
- Schneeflocke
- Differenzierbarkeit
Fraktale
- Hohe Selbstähnlichkeit
- Mandelbrot
- Natur
Koch-Regeln
- Mit einer geraden Linie starten
- Linie in drei Teile aufteilen
- Den mittleren Teil der Linie "radieren"
- Den mittleren Teil zu einem gleichseitigen Dreieck verbinden
- Mit allen neuen Linien wiederholen
Selbstähnlichkeit
Umfang der Koch-Kurve
Anzahl der Linien:
\[ N_n = N_{n-1} \cdot 4 = 4^n \]
Länge der Linien:
\[ S_n = \frac{S_{n-1}}{3} = \frac{s}{3^n} \]
Umfang:
\[ P_n = N_n\cdot S_n = s\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^n \]
Grenzwert:
\[ \lim_{n\to\infty}P_n = \infty \]
Nebenrechnung
\[ N_n = N_{n-1} \cdot 4 = 4^n \]
\[ S_n = \frac{S_{n-1}}{3} = \frac{s}{3^n} \]
\[ P_n = N_n\cdot S_n = 4^n \cdot \frac{s}{3^n} = \frac{s \cdot 4^n}{3^n} = s \cdot \frac{4^n}{3^n} \]
Summenzeichen
\[ \sum_{x=1}^{5} x^2 \]
\[ = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 55 \]
Fläche der Koch-Kurve
Jedes neue Dreieck hat \( \frac{1}{9} \) des vorherigen Flächeninhalts
\[ N_n = 4^n \]
\[ A_{\triangle_n} = \left(\frac{1}{9}\right)^n \]
\[ \Delta A_n = 4^{n-1} \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^{n - 1} = \left(\frac{4}{9}\right)^{n-1} \]
\[ A_n = \sum_{k=0}^{n} \left(\frac{4}{9}\right)^k \]
\[ \lim_{n\to\infty}A_n = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{4}{9}\right)^n \]
\[ = \frac{1}{1 - \frac{4}{9}} = \frac{9}{5} = \underline{\underline{1,8}} \]
Die Koch Schneeflocke
\[ P_n = \textcolor{red}{3} \cdot s \cdot \frac{4^n}{3^n} \]
Differenzierbarkeit
Generell: Man kann eine Tangente konstruieren
Die Koch-Kurve ist an keinem Punkt differenzierbar
Stetigkeit
Nicht stetig:
- Definitionslücken
- Sprünge in der Funktion: \[ f(x) = \begin{cases} x, & \text{wenn x $\leqslant$ 1} \\ x + 1, & \text{wenn x > 1} \\ \end{cases} \]
Stetig:
- "Sind ohne abheben zeichenbar"
- Alle "normalen" Funktionen
Die Koch-Kurve ist stetig