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<div class="reveal">
<div class="slides">
<section>
<h1>Das Koch Fraktal</h1>
<small>Von Marvin Borner, TGI 12.1</small>
</section>
<section>
<h3>Gliederung</h3>
<ol>
<li>Fraktale</li>
<li>Koch-Kurve</li>
<li>Umfang</li>
<li>Fläche</li>
<li>Schneeflocke</li>
<li>Differenzierbarkeit</li>
</ol>
</section>
<section>
<h3>Fraktale</h3>
<section>
<ul>
<li class="fragment fade-in">Hohe Selbstähnlichkeit</li>
<li class="fragment fade-in">Mandelbrot</li>
<li class="fragment fade-in">Natur</li>
</ul>
</section>
<section>
<img
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src="imgs/Romanesco.jpg"
alt="Hier könnte ihre Werbung stehen!"
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</section>
<section>
<img
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src="imgs/Sierpinski.gif"
alt="Hier könnte ihre Werbung stehen!"
/>
</section>
</section>
<section>
<!-- Vorstellung -->
<section>
<h3>Koch-Regeln</h3>
<ol>
<li class="fragment fade-in">Mit einer geraden Linie starten</li>
<li class="fragment fade-in">Linie in drei Teile aufteilen</li>
<li class="fragment fade-in">Den mittleren Teil der Linie "radieren"</li>
<li class="fragment fade-in">
Den mittleren Teil zu einem gleichseitigen Dreieck verbinden
</li>
<li class="fragment fade-in">Mit allen neuen Linien wiederholen</li>
</ol>
</section>
<section>
<img
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alt="Hier könnte ihre Werbung stehen!"
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</section>
<section>
<div id="iterationCtr"></div>
<div id="flaecheErg"></div>
<div class="flexContainer">
<canvas id="koch"></canvas>
</div>
</section>
</section>
<section>
<h3>Selbstähnlichkeit</h3>
<img
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alt="Hier könnte ihre Werbung stehen!"
/>
</section>
<section>
<!-- Mit zwei browsern visualisieren (tiling!) -->
<section>
<h3>Umfang der Koch-Kurve</h3>
<div class="fragment fade-right" style="float: left;">
<p>Anzahl der Linien:</p>
<p>\[ N_n = N_{n-1} \cdot 4 = 4^n \]</p>
</div>
<div class="fragment fade-left" style="float: right;">
<p>Länge der Linien:</p>
<p>\[ S_n = \frac{S_{n-1}}{3} = \frac{s}{3^n} \]</p>
</div>
<div data-action="nebenrechnung" class="fragment fade-up" style="float: left;">
<p>Umfang:</p>
<p>\[ P_n = N_n\cdot S_n = s\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^n \]</p>
</div>
<div class="fragment fade-up" style="float: right;">
<p>Grenzwert:</p>
<p>\[ \lim_{n\to\infty}P_n = \infty \]</p>
</div>
<span data-action="gooo" class="fragment" style="display: none !important;"></span>
</section>
<section>
<h3>Nebenrechnung</h3>
<p class="fragment fade-up">\[ N_n = N_{n-1} \cdot 4 = 4^n \]</p>
<p class="fragment fade-up">\[ S_n = \frac{S_{n-1}}{3} = \frac{s}{3^n} \]</p>
<p class="fragment fade-up">
\[ P_n = N_n\cdot S_n = 4^n \cdot \frac{s}{3^n} = \frac{s \cdot 4^n}{3^n} = s \cdot
\frac{4^n}{3^n} \]
</p>
<span data-action="umfang-back" class="fragment" style="display: none !important;"></span>
</section>
</section>
<section>
<h3>Summenzeichen</h3>
<p>\[ \sum_{x=1}^{5} x^2 \]</p>
<p class="fragment fade-up">\[ = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 55 \]</p>
</section>
<section>
<h3>Fläche der Koch-Kurve</h3>
<section>
<div class="flexContainer">
<canvas id="dreieck"></canvas>
</div>
</section>
<section>
<p class="fragment fade-in">
Jedes neue Dreieck hat \( \frac{1}{9} \) des vorherigen Flächeninhalts
</p>
<p class="fragment fade-in">\[ N_n = 4^n \]</p>
<p class="fragment fade-in">\[ A_{\triangle_n} = \left(\frac{1}{9}\right)^n \]</p>
<p class="fragment fade-in">
\[ \Delta A_n = 4^{n-1} \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^{n - 1} =
\left(\frac{4}{9}\right)^{n-1} \]
</p>
</section>
<section>
<p>\[ A_n = \sum_{k=0}^{n} \left(\frac{4}{9}\right)^k \]</p>
</section>
<section>
<p>\[ \lim_{n\to\infty}A_n = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{4}{9}\right)^n \]</p>
<p class="fragment fade-in">
\[ = \frac{1}{1 - \frac{4}{9}} = \frac{9}{5} = \underline{\underline{1,8}} \]
</p>
</section>
</section>
<section>
<h3>Die Koch Schneeflocke</h3>
<section>
<img
class="plain"
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alt="Hier könnte ihre Werbung stehen!"
/>
</section>
<!-- <span class="fragment" style="display: none !important;"></span> -->
<section>
\[ P_n = \textcolor{red}{3} \cdot s \cdot \frac{4^n}{3^n} \]
\[ \lim_{n\to\infty}A_n = \textcolor{red}{3} \cdot \textcolor{red}{\frac{1}{9}} \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{4}{9}\right)^n + \textcolor{red}{1} \]
\[ = 3 \cdot \frac{\frac{1}{9}}{1 - \frac{4}{9}} + 1 = \underline{\underline{1.6}} \]
</section>
</section>
<section>
<h3>Differenzierbarkeit</h3>
<p class="fragment fade-in">Generell: Man kann eine Tangente konstruieren</p>
<p class="fragment fade-in">Die Koch-Kurve ist an keinem Punkt differenzierbar</p>
</section>
<section>
<h3>Stetigkeit</h3>
<section>
<p class="fragment fade-in">Nicht stetig:</p>
<ul>
<li class="fragment fade-in">Definitionslücken</li>
<li class="fragment fade-in">
Sprünge in der Funktion: \[ f(x) = \begin{cases} x, & \text{wenn x $\leqslant$ 1} \\ x +
1, & \text{wenn x > 1} \\ \end{cases} \]
</li>
</ul>
<p class="fragment fade-in">Stetig:</p>
<ul>
<li class="fragment fade-in">"Sind ohne abheben zeichenbar"</li>
<li class="fragment fade-in">Alle "normalen" Funktionen</li>
</ul>
</section>
<section>
<p>Die Koch-Kurve ist stetig</p>
</section>
</section>
<section>
<h3>Quellen</h3>
<small>https://en.wikipedia.org/wiki/Koch_snowflake</small>
<small>https://de.wikipedia.org/wiki/Selbst%C3%A4hnlichkeit</small>
<small>
http://www.mathematik.uni-ulm.de/stochastik/lehre/ws06_07/seminar_fraktale/daikeler.pdf
</small>
<small>
https://www.uni-ulm.de/fileadmin/website_uni_ulm/mawi.inst.110/mitarbeiter/spodarev/publications/fraktale.pdf
</small>
</section>
</div>
</div>
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