From 8e00aa4fa87df06c320cbf6f3d8e8d63e9a235ad Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Marvin Borner Date: Fri, 6 Jan 2023 18:13:24 +0100 Subject: Syncidoodledo --- notes/mathe3/header.tex | 3 ++ notes/mathe3/main.md | 135 ++++++++++++++++++++++++------------------------ notes/mathe3/main.pdf | Bin 1493113 -> 1493026 bytes 3 files changed, 71 insertions(+), 67 deletions(-) diff --git a/notes/mathe3/header.tex b/notes/mathe3/header.tex index 4c487db..a540df1 100644 --- a/notes/mathe3/header.tex +++ b/notes/mathe3/header.tex @@ -48,6 +48,9 @@ \newcommand{\Ezh}{\CYRABHDZE} \newcommand\yogh{\text\Ezh} +\newcommand\defeq{\mathrel{\vcentcolon=}} +\newcommand\defiff{\mathrel{\vcentcolon\Longleftrightarrow}} + \DeclareMathOperator{\sgn}{sgn} \DeclareMathOperator{\ggT}{ggT} \DeclareMathOperator{\kgV}{kgV} diff --git a/notes/mathe3/main.md b/notes/mathe3/main.md index 2ac7aaa..5562493 100644 --- a/notes/mathe3/main.md +++ b/notes/mathe3/main.md @@ -219,11 +219,11 @@ Ausgabe: y (=ggT(a,b)) ::: bsp EA mit $a=48$ und $b=-30$: - x y r + x y r ----- ------- ---- - 48 -30 18 - -30 18 6 - 18 **6** 0 + 48 -30 18 + -30 18 6 + 18 **6** 0 Damit ist der größte gemeinsame Teiler mit 6 gefunden. ::: @@ -238,7 +238,7 @@ $a,b\in\Z$, nicht beide $=0 \implies \exists s,t\in\Z:\ggT(a,b)=sa+tb$ \begin{align*} b = 0:\quad&\ggT(a,b) = |a| = sa+0b,\quad s=\mathrm{sgn}(a)\\ b\ne0,\ b\mid a:\quad&\ggT(a,b)=|b|=0a+tb,\quad t=\mathrm{sgn}(b)\\ -b\ne0,\ b\nmid a:\quad&a_0:=a,a_1:=b\implies\mathrm{EA}\implies\ggT(a,b)=a_n,\quad n\ge2\\ +b\ne0,\ b\nmid a:\quad&a_0\defeq a,a_1\defeq b\implies\mathrm{EA}\implies\ggT(a,b)=a_n,\quad n\ge2\\ &\text{Zeige mit vollst. Induktion: }\exists s_j,t_j\in\Z: a_j=s_ja_0+t_ja_1\quad\forall j=0,..,n \end{align*} \end{proof} @@ -337,7 +337,7 @@ $a,b\in\Z$, nicht beide $=0,\ c\in\Z$ \begin{proof} In beide Richtungen: \begin{itemize} - \item \enquote{$\implies$}:\quad Gelte $sa+tb=1$. Annahme: $\ggT(a,b)>1$\\$d:=\ggT(a,b)\implies d\mid a,\quad d\mid b$ $\implies \exists k_1,k_2\in\Z:a=k_1d,\ b=k_2d$ $\implies sa+tb=d(sk_1+tk_2)\ne1$, da $d>1\ \lightning$, also $d=1$ + \item \enquote{$\implies$}:\quad Gelte $sa+tb=1$. Annahme: $\ggT(a,b)>1$\\$d\defeq\ggT(a,b)\implies d\mid a,\quad d\mid b$ $\implies \exists k_1,k_2\in\Z:a=k_1d,\ b=k_2d$ $\implies sa+tb=d(sk_1+tk_2)\ne1$, da $d>1\ \lightning$, also $d=1$ \item \enquote{$\impliedby$}:\quad $\exists s,t\in\Z: 1=sa+tb\implies c=sac+tbc$, also $a\mid a$ und $a\mid bc$ $\implies a\mid(\underbrace{sac+tbc}_{=c})$ \end{itemize} \end{proof} @@ -467,11 +467,11 @@ $$x\equiv\begin{cases}a_1\pmod{m_1}\\\vdots\\a_n\pmod{m_n}\end{cases}$$ ::: proof ```{=tex} \begin{proof} -Setze $M_i:=\frac{M}{m_i}\in\Z\implies\ggT(m_i,M_i)=1\quad\forall i=1,...,n$ +Setze $M_i\defeq\frac{M}{m_i}\in\Z\implies\ggT(m_i,M_i)=1\quad\forall i=1,...,n$ $\implies \exists s_i,t_i\in\Z: s_i\cdot m_i + t_iM_i = 1$ -Setze $e_i:=t_iM_i\implies e_i\equiv\begin{cases}0\pmod{m_j}&j\ne i\\1\pmod{m_i}\end{cases}$ +Setze $e_i\defeq t_iM_i\implies e_i\equiv\begin{cases}0\pmod{m_j}&j\ne i\\1\pmod{m_i}\end{cases}$ $\implies x = \left(\sum_{i=1}^n a_ie_i\right)\pmod{M}$ Lösung, da: @@ -728,13 +728,14 @@ $(\Z_n,\oplus,\odot)$ Körper $\iff n\in\P$. Analog in $K[x]$: Sei $f\in K[x],\ \grad(f)=n$. Dann ist $(K[x]_n,+,\odot_f)$ mit - $K[x]_n=\{g\in K[x]\mid\grad(g)0:K_\varepsilon(x)\subseteq U$ -- $U$ heißt Umgebung von $x\in D\subseteq\R^n:\iff U$ offen und + $\defiff\forall x\in U\exists\varepsilon>0:K_\varepsilon(x)\subseteq U$ +- $U$ heißt Umgebung von $x\in D\subseteq\R^n\defiff U$ offen und $x\in U$ und $U\subseteq D$ -- $A\subseteq\R^n$ abgeschlossen $:\iff A^C=\R^n\setminus A$ offen +- $A\subseteq\R^n$ abgeschlossen $\defiff A^C=\R^n\setminus A$ offen ## Rand $x\in\R^n$ Randpunkt von -$D\subseteq\R^n:\iff K_\varepsilon(x)\cap D\ne\emptyset$ und +$D\subseteq\R^n\defiff K_\varepsilon(x)\cap D\ne\emptyset$ und $K_\varepsilon(x)\cap D^C\ne\emptyset\quad\forall\varepsilon>0$. $\partial D$ ist die Menge aller Randpunkte von $D$. @@ -940,7 +941,7 @@ Sei $\{U_i\}_{i\in\N}$ ein System offener Mengen. Dann: \item Sei $x\in\bigcup_{i=1}^\infty U_i$ \begin{align*}&\implies\exists i\in\N:x\in U_i\\&\implies\exists\varepsilon>0:K_\varepsilon(x)\subseteq U_i\text{, da $U_i$ offen}\\&\implies K_\varepsilon(x)\subseteq\bigcup_{i=1}^\infty U_i\\&\implies\bigcup_{i=1}^\infty U_i\text{ offen}\end{align*} \item $x\in U_1\cap U_2$ - \begin{align*}&\implies\exists\varepsilon_1,\varepsilon_2>0:K_{\varepsilon_1}(x)\subseteq U_1,\ K_{\varepsilon_2}(x)\subseteq U_2\\&\varepsilon:=\min\{\varepsilon_1,\varepsilon_2\}\\&\implies K_\varepsilon(x)\subseteq K_{\varepsilon_1}(x)\subseteq U_1\land K_\varepsilon(x)\subseteq K_{\varepsilon_2}(x)\subseteq U_2\\&\implies K_\varepsilon(x)\subseteq U_1\cap U_2\end{align*} + \begin{align*}&\implies\exists\varepsilon_1,\varepsilon_2>0:K_{\varepsilon_1}(x)\subseteq U_1,\ K_{\varepsilon_2}(x)\subseteq U_2\\&\varepsilon\defeq\min\{\varepsilon_1,\varepsilon_2\}\\&\implies K_\varepsilon(x)\subseteq K_{\varepsilon_1}(x)\subseteq U_1\land K_\varepsilon(x)\subseteq K_{\varepsilon_2}(x)\subseteq U_2\\&\implies K_\varepsilon(x)\subseteq U_1\cap U_2\end{align*} \end{abc} \end{proof} ``` @@ -969,10 +970,10 @@ Sei $\{A_i\}_{i=1}^\infty$ ein System abgeschlossener Mengen. Dann: Sei $D\subseteq\R^n$. -- $\bar{D}=D\cup\partial D$ ist abgeschlossen und heißt Abschluss von - $D$. -- $\mathring{D}:=D\setminus\partial D$ ist offen und heißt Inneres von - $D$. +- $\bar{D}\defeq D\cup\partial D$ ist abgeschlossen und heißt + Abschluss von $D$. +- $\mathring{D}\defeq D\setminus\partial D$ ist offen und heißt + Inneres von $D$. - $\partial D$ ist abgeschlossen ::: proof @@ -999,8 +1000,8 @@ Sei $D\subseteq\R^n$. ## Beschränkte/kompakte Mengen - $D\subseteq\R^n$ beschränkt - $:\iff\exists K>0:\|x\|0:\|x\|1000\iff k\ge6$ +$\iff (k+1)!>1000\iff k\ge6$`\medskip`{=tex} Für $k=6$ ist `\begin{align*}\sin(1)\approx T_6(1)&=\frac{\sin0}{0!}(1-0)^0+\frac{\cos0}{1!}(1-0)^1-\frac{\sin0}{2!}(1-0)^2\pm...\pm\frac{\sin0}{6!}(1-0)^6\\&=0+1+0-\frac{1}{6}+0+\frac{1}{120}+0=\frac{101}{120}\\&\approx 0.841\end{align*}`{=tex} @@ -1793,17 +1794,17 @@ Für $k=6$ ist ### Multiindex -$p:=(p_1,...,p_m)\in\N_0^m$ heißt Multiindex. +$p\defeq (p_1,...,p_m)\in\N_0^m$ heißt Multiindex. -$|p|:=p_1+...+p_m$ Ordnung von $p$. +$|p|\defeq p_1+...+p_m$ Ordnung von $p$. -$p!:=(p_1!)\cdot...\cdot(p_m!)$ +$p!\defeq (p_1!)\cdot...\cdot(p_m!)$ Für $x\in\R^m$, $x=(x_1,...,x_m)^\top$ sei -$x^P:=x_1^{P_1}\cdot...\cdot x_m^{P_m}.$ +$x^P\defeq x_1^{P_1}\cdot...\cdot x_m^{P_m}.$ Ist $f$ $k$-mal stetig differenzierbar, so sei -$\partial^Pf:=\frac{\partial^{|P|}f}{\partial x_1^{P_1}...\partial x_m^{P_m}}.$ +$\partial^Pf\defeq\frac{\partial^{|P|}f}{\partial x_1^{P_1}...\partial x_m^{P_m}}.$ ::: bsp - $P=(0,...,0)\implies\partial^Pf=f$ @@ -1829,7 +1830,7 @@ $a\in D$. Dann ist - $T_1(x)=\underbrace{f(a)}_{|p|=0}+\underbrace{\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_i-a_i)}_{|p|=1,p=(--\underbrace{1}_i--)}=f(a)+f'(a)(x-a)$ lineare Approximation in $a$ - $T_2(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{1}{2!}\sum_{i,j=1}^n\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}(a)(x_i-a_i)(x_j-a_j)$ - und $H_f(a):=(a_{ij})\in\M_n(\R)$, + und $H_f(a)\defeq (a_{ij})\in\M_n(\R)$, $a_{ij}=\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}(a)$ ist die sogenannte Hessematrix von $f$ in $a$. Damit erhält man $$T_2(x)f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{1}{2}(x-a)^\top H_f(a)(x-a)$$ @@ -1858,7 +1859,7 @@ $$\text{Lagrange-Form des Restgliedes}$$ \begin{proof} Sei $v=x-a$. Dann ist $S(a,x)=\{a+tv\mid t\in(0,1)\}$. -Setze $\varphi:[0,1]\to\R$, $\varphi(t):=f(a+tv)$. +Setze $\varphi:[0,1]\to\R$, $\varphi(t)\defeq f(a+tv)$. \begin{align*} \implies\varphi'(t)&=f'(a+tv)\cdot v\\ &=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(a+tv)v_i\\ @@ -1875,7 +1876,7 @@ $\implies\exists\vartheta\in(0,1)$ mit R_k^\varphi(1)&=\frac{\varphi^{(k+1)}(\vartheta)}{(k+1)!}(1-0)^{k+1}\\ &=\frac{\varphi^{(k+1)}(\vartheta)}{(k+1)!} \end{align*} -Sei $\xi:=\varphi(\vartheta)=a+\vartheta v\in S(a,x)$ +Sei $\xi\defeq\varphi(\vartheta)=a+\vartheta v\in S(a,x)$ \begin{align*} \implies R_k^\varphi(1)&=\sum_{|p|=k+1}\frac{\partial^Pf(\overbrace{a+\vartheta v}^{\mathclap{\xi}})}{P!}\underbrace{v^P}_{\mathclap{=(x-a)^P}}\\ &=R_k(x) diff --git a/notes/mathe3/main.pdf b/notes/mathe3/main.pdf index 3df36b6..f4550e2 100644 Binary files a/notes/mathe3/main.pdf and b/notes/mathe3/main.pdf differ -- cgit v1.2.3