From f344cd067cc5829a3e76fd4b7d6779f2502428ea Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Marvin Borner
Date: Thu, 5 Jan 2023 17:39:23 +0100
Subject: Initial sync

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 exams/mathe1/hauptklausur/main.tex | 90 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
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index 0000000..660bd85
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+++ b/exams/mathe1/hauptklausur/main.tex
@@ -0,0 +1,90 @@
+\documentclass[a4paper, 11pt]{article}
+
+% Packages
+\usepackage[a4paper, inner=2.5cm, outer=2.5cm, top=2.5cm, bottom=2.5cm, bindingoffset=0cm]{geometry}
+\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb,amsfonts}
+\usepackage{graphicx}
+\usepackage[colorlinks=true, allcolors=blue]{hyperref}
+\usepackage{fontspec,xunicode,xltxtra}
+\usepackage{biblatex}
+
+% GERMAN
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+
+\usepackage{enumitem}
+
+% Figures
+\graphicspath{{figures/}}
+
+\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
+\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
+\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
+\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
+
+\begin{document}
+
+\title{\vspace{-2.0cm}Hauptklausur zu Mathematik 1 für Informatik}
+\author{Peter Ochs, Oskar Adolfson}
+\date{\today}
+
+\maketitle
+
+\begin{center}
+	Hilfsmittel: Stift, einseitig beschriftetes DIN A4 Blatt.\\
+	Zeit: 120min\\
+	\textbf{Keine Garantie auf korrekte Aufgaben/Punktezahlen.}
+\end{center}
+
+\section*{Aufgabe 1 [3+2+5=10]}
+Sei $z\in\C$.
+\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
+	\item Berechnen Sie $z^8$ für $z=-1+i$ in der Form $z = a+ib$.
+	\item Schreiben Sie $\frac{5}{i-2}$ in der Form $z = a+ib$.
+	\item Berechnen Sie $z$ für $z^6=-64$.
+\end{enumerate}
+
+\section*{Aufgabe 2 [10]}
+Es gelte $f(x) = \frac{sin(x)}{\sqrt{x}}$. Zeigen Sie, dass für alle $x\in(0,\infty)$ gilt $$f''(x)+\frac{1}{x} \cdot f'(x) + \left(1-\frac{1}{4x^2}\right) \cdot f(x) = 0.$$
+
+\section*{Aufgabe 3 [2+3+2+3=10]}
+Für die Folge $(a_n)_{n\in\N}$ gelte $a_0 = 1$ und $a_{n+1} = \sqrt{1+a_n}$.
+\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
+	\item Zeigen Sie, dass $(a_n)_{n\in\N}$ monoton ist.
+	\item Zeigen Sie, dass $(a_n)_{n\in\N}$ beschränkt ist.
+	\item Zeigen Sie, dass $(a_n)_{n\in\N}$ konvergiert.
+	\item Bestimmen Sie den Grenzwert von $(a_n)_{n\in\N}$.
+\end{enumerate}
+
+\section*{Aufgabe 4 [3+4+3=10]}
+$g$ sei eine Folge von Funktionen mit $g_n = \frac{nx}{1+|nx|}$.
+\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
+	\item Zeigen Sie, dass $g_n$ für alle $n\in\N$ stetig ist.
+	\item Bestimmen Sie die Grenzfunktion von $g_n$.
+	\item Zeigen Sie, dass die Folge nicht gleichmäßig konvergiert.
+\end{enumerate}
+
+\section*{Aufgabe 5 [3+4+3=10]}
+Die Funktion $f$ in $\R$ sei zweifach stetig differenzierbar mit $f(0) = f'(0) = 0$ und $\forall x\in\R: f''(x) \ge 0$.
+\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
+	\item Zeigen Sie, dass $\forall x\in\R: f(x) \ge 0$.
+	\item Zeigen Sie, dass ein $c\in\R$ mit $c>1$ existiert, sodass für alle $k\in\R, k \ge 1$ gilt $$0 \le f\left(\frac{1}{k}\right) \le \frac{c}{k^2}.$$
+	\item Zeigen Sie, dass die Reihe $\sum_{k=1}^\infty f\left(\frac{1}{k}\right)$ konvergiert.
+\end{enumerate}
+
+\section*{Aufgabe 6 [6+4=10]}
+Eine Funktion $f$ heißt konvex, wenn gilt $$f(\lambda x + (1 - \lambda) y) \le \lambda f(x) + (1-\lambda)f(y)\quad\forall x,y\in\R,\lambda\in[0,1].$$
+Eine Funktion $f$ heißt \textit{strikt} konvex, wenn gilt $$f(\lambda x + (1 - \lambda) y) < \lambda f(x) + (1-\lambda)f(y)\quad\forall x,y\in\R,x \ne y,\lambda\in[0,1].$$
+\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
+	\item Zeigen Sie, dass für eine konvexe Funktion $f$ jedes lokale Minimum in $f$ auch das globale Minimum in $f$ ist.
+	\item Zeigen Sie, dass für eine strikt konvexe Funktion $f$ sogar nur ein globales Minimum existiert.
+\end{enumerate}
+
+\noindent\rule[0.5ex]{\linewidth}{1pt}
+
+\begin{center}
+	Einschätzung: Schwierig.\\
+	GeTeXt von Marvin Borner.
+\end{center}
+
+\end{document}
-- 
cgit v1.2.3

