\documentclass[a4paper, 11pt]{article}
\input{../definitions}
\begin{document}
\namesnstuff

\textbf{Bedingungen: 120min Zeit, einseitig beschriebenes Cheat-Sheet}

\section{10 Punkte}
\begin{abc}
    \item Bestimmen Sie $\ggT(1071, 462)$.
    \item Bestimmen Sie $r,s\in\Z$, sodass $r\cdot462+s\cdot1071=\ggT(1071, 462)$.
\end{abc}

\section{10 Punkte}
Bestimmen Sie alle Lösungen $x=(x_1,x_2,x_3,x_4)^\top\in(\Z/7\Z)^4$ des folgenden linearen Gleichungssystems über $\Z/7\Z$ und geben Sie die Lösungsmenge an: $$\begin{pmatrix}1&2&0&5\\3&1&5&2\\5&0&3&6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\4\\0\end{pmatrix}$$
(Beachten Sie, dass alle Zahlen als Restklassen in $\Z/7\Z$ zu verstehen sind.)

\section{4 + 4 + 2 = 10 Punkte}
Sei $A=\begin{pmatrix}3&-2&-2\\0&1&0\\1&-1&0\end{pmatrix}\in\Q^{3\times3}$ gegeben.
\begin{abc}
    \item Bestimmen Sie alle Eigenwerte von $A$ und die zugehörigen Eigenräume.
    \item Entscheiden Sie, ob $A$ diagonalisierbar ist und geben Sie gegebenenfalls ein $S$ und $D$ an, so dass $S^{-1}AS=D$ eine Diagonalmatrix ist.
    \item Entscheiden Sie, ob $A$ invertierbar ist und geben Sie gegebenenfalls $A^{-1}$ an.
\end{abc}

\section{3 + 4 + 3 = 10 Punkte}
Sei $V=\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in\Q\}$.
\begin{abc}
    \item Zeigen Sei, dass $V$ ein $\Q$-Untervektorraum von $\R$ ist.
    \item Bestimmen Sie eine Basis $\mathcal{B}$ von $V$ als $\Q$-Vektorraum und folgern Sie die Dimension von $V$.
    \item Betrachten Sie nun den Vektorraum $U=\Q[X]_{\le 2}$ und die Basis $\mathcal{A}=(1,X,X^2)$ (dass $\mathcal{A}$ eine Basis von $U$ ist, muss nicht gezeigt werden). Sei außerdem $\varphi: U\to V,\ p(X)\mapsto p(\sqrt{2})$, eine Abbildung, die $\sqrt{2}$ anstelle von $X$ in ein Polynom einsetzt. Diese Abbildung ist linear und wohldefiniert (muss nicht gezeigt werden). Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix $M_\mathcal{A}^\mathcal{B}(\varphi)$ von $\varphi$ bezüglich der Basen $\mathcal{A}$ und $\mathcal{B}$.
\end{abc}

\section{3 + 4 + 3 = 10 Punkte}
Sei $(V,\braket{\cdot,\cdot})$ ein Prä-Hilbert-Raum mit induzierter Norm $||v||=\sqrt{\braket{v,v}}$. Zeigen Sie, dass für alle $u,v\in V$ gilt:
\begin{abc}
    \item $||u+v||^2+||u-v||^2=2(||u||^2+||v||^2)$
    \item $||u+v||=||u-v||\iff\braket{u,v}=0$
    \item Ist eine der Bedingungen in (b) erfüllt, so gilt $P_{\lin(V)}(u+v)=v$ für die Projektion von $u+v$ auf die lineare Hülle von $v$.
\end{abc}

\section{2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 Punkte}
Entscheiden Sie über folgende Aussagen, ob sie wahr oder falsch sind. Begründen Sie ihre Antwort.
\begin{abc}
    \item Jedes Element in $\Z/25\Z$ hat ein multiplikatives Inverses.
    \item Das Polynom $X^4+2$ hat in $\Z/18\Z$ eine Nullstelle.
    \item Die Signatur von $(1,2,3,4)\in S_5$ ist $1$.
    \item Es gibt eine lineare Abbildung $\varphi: \R^4\to\R^3$, die injektiv ist.
    \item Die Matrix $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ ist in $\C$ diagonalisierbar.
\end{abc}
\par\hrulefill\par
\begin{center}
    \textbf{Danke für die Hilfe an alle Beteiligten.\\Keine Garantie auf Korrektheit.\\\LaTeX\ von Marvin Borner.}
\end{center}
\end{document}
