--- author: Marvin Borner date: "`\\today`{=tex}" lang: de-DE pandoc-latex-environment: bem-box: - bem bsp-box: - bsp proof-box: - proof visu-box: - visu toc-title: Inhalt --- ```{=tex} \newpage ``` # Sinnvolle Rechenregeln ## Potenzregeln - $a^n\cdot a^m=a^{n+m}$ - $a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n$ - $(a^n)^m=a^{n\cdot m}$ - $\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n$ - $\frac{a^n}{b^m}=a^{n-m}$ ## Toll - $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$ # Euklidischer Algorithmus Zur Berechnung des ggT. ::: bsp Berechnung von $\ggT(48,-30):$ `\begin{align*}48&=-1\cdot-30+18\\-30&=-2\cdot18+6\\18&=3\cdot6+0\end{align*}`{=tex} $\ggT(48,-30)=6$ ::: TODO: kgV mit Primfaktorzerlegung # Erweiterter Euklidischer Algorithmus Zur Berechnung von $s,t$, da: $$0\ne a,b\in\Z\implies\exists s,t\in\Z:\ggT(a,b)=sa+tb$$ ggT gleichsetzen, rückwärts einsetzen und je ausmultiplizieren. ::: bsp Mit vorigem Beispiel: `\begin{align*}6&=-30+2\cdot18\\&=-30+2\cdot(48+1\cdot-30)\\&=2\cdot48+3\cdot-30\end{align*}`{=tex} ::: TODO: Polynome. # Inverse prüfen $$a\in\Z_n\text{ invertierbar}\iff\ggT(a,n)=1$$ $a^{-1}$ ist dann $s$ aus $sa+tn=1$ des EEA. # Zykel - zyklische Gruppe, von $a$ erzeugt: $\langle a\rangle\defeq\{a^n\mid n\in\Z\}$ # Fundamentalsatz Mit $2\le n\in\N$ gibt es endlich viele paarweise verschiedene $p_1,...,p_k\in\P$ und $e_1,...,e_k\in\N$, sodass $$n=p_1^{e_1}\cdot...\cdot p_k^{e_k}.$$ # Chinesischer Restsatz Lösen von simultaner Kongruenz. TODO: Beispiel. # Reduzibilität - TODO: Nullstellen und so - TODO: Mit Primzahlen ez # Lösen von $a^b\pmod{n}$ - falls $n$ groß: Primfaktorzerlegung von $n$ und für jeden Faktor durchführen. - Modulo in Potenzen aufnehmen (Trick: $2\pmod{3}=-1$) - Satz von Euler: $a^{\varphi(n)}\equiv1\pmod{n}$ - sonst schlau Potenzregeln anwenden # Eulersche $\varphi$-Funktion - $\varphi(p)=p-1$ für $p\in\P$ - $\varphi(M)=m_1\cdot...\cdot m_n$ mit $m_i\in\N$ paarweise teilerfremd (bspw. über chinesischen Restsatz) - $\varphi(M)=(p_1-1)p_1^{a_1-1}\cdot...\cdot(p_k-1)p_k^{a_k-1}$, mit Primfaktorzerlegung $M=p_1^{a_1}\cdot...\cdot p_k^{a_k}$ ::: bsp $\varphi(100)=\varphi(4\cdot5^2)=\varphi(4)\cdot\varphi(5^2)=2\cdot(5-1)\cdot5^{2-1}=40$ ::: # RSA-Verfahren Bob (Schlüsselerzeugung) 1. wählt zwei große $p,q\in\P: p\ne q$ und bildet $n=pq$ 2. berechnet $\varphi(n)=(p-1)(q-1)$ 3. wählt $e$ teilerfremd zu $\varphi(n)$ 4. bestimmt $00\ \exists N\in\N\ \forall k\ge N:\|x_k-a\|<\varepsilon.$$ # Eigenschaften von Mengen - Sei $x_0\in\R^n,\ \varepsilon>0$. $K_\varepsilon(x_0)=\{x\in\R^n\mid\|x-x_0\|<\varepsilon\}$ heißt offene $\varepsilon$-Kugel um $x_0$. - $D\subseteq\R^n$ **beschränkt** $\defiff\exists K>0:\|x\|0:K_\varepsilon(x)\subseteq U$ - $A\subseteq\R^n$ **abgeschlossen** $\defiff A^C=\R^n\setminus A$ offen - Sei $(x_k)$ Folge in $A\subseteq\R^n$ mit Grenzwert $a\in\R^n$. $A$ **abgeschlossen** $\iff a\in A$. - $x\in\R^n$ Randpunkt von $D\subseteq\R^n\defiff K_\varepsilon(x)\cap D\ne\emptyset$ und $K_\varepsilon(x)\cap D^C\ne\emptyset\quad\forall\varepsilon>0$. - $\partial D$ ist die (abgeschlossene) Menge aller Randpunkte von $D$. - $D\subseteq\R^n$ **kompakt** $\defiff$ Jede Folge in $D$ besitzt eine in $D$ konvergente Teilfolge. - $D\subseteq\R^n$ **kompakt** $\iff D$ beschränkt und abgeschlossen. - $\bar{D}\defeq D\cup\partial D$ ist abgeschlossen und heißt **Abschluss** von $D$. - $\mathring{D}\defeq D\setminus\partial D$ ist offen und heißt **Innneres** von $D$. # Stetigkeit Sei $f: D\subset\R^n\to\R^m$. - $f$ stetig in $a\in D\defiff\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ - $f$ stetig auf $D\defiff f\text{ stetig in }a\quad\forall a\in D$ Mit $f: D\subseteq\R^n\to\R^n, v\subseteq f(0)$, $V$ offen: $$f\text{ stetig}\iff f^{-1}(V)\text{ offen.}$$ TODO: Stetige Fortsetzbarkeit ## Polarkoordinaten - $x=r\cdot\cos(\alpha)$ - $y=r\cdot\sin(\alpha)$ - statt $(x,y)$ $(r,\alpha)$ gegen $a$ laufen lassen (TODO!) ## Prüfen - In Punkt: $\lim_{v\to v_0} f(v)=f(v_0)$ - bspw. mit Polarkoordinaten - oder mit $0\le|f(x,y)|\le ... \implies \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0$ - bspw. x aus Nenner nehmen # Weierstraß Minimax-Theorem $f:D\subseteq\R^n\to\R$ stetig, $D$ kompakt. $\implies\exists x_\star,x^\star\in D: \underbrace{f(x_\star)}_\mathrm{min}\le f(x)\le\underbrace{f(x^\star)}_\mathrm{max}\quad\forall x\in D$ ::: bsp $f:\R^2\to\R$, $f(x,y)=xy$ $S=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\in\R^2\mid x^2+y^2=1\right\}$ $\implies f$ hat Maximum und Minimum auf $S$ ::: # TODO: Zeug? # Differenziation Sei $D\subseteq\R^n$ offen, $f:D\to\R^m$, $f(x)=(f_1(x),...,f_m(x))$ und $a=(a_1,...,a_n)^\top\in D$. - Jacobimatrix: $$f'(a)\defeq\begin{pmatrix}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(a)&...&\frac{\partial f_1}{\partial x_n}(a)\\\frac{\partial f_m}{\partial x_1}(a)&...&\frac{\partial f_m}{\partial x_n}(a)\\\end{pmatrix}\in\M_{m,n}(\R)$$ - Gradient: $$f'(a)^\top=\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1}(a)\\\vdots\\\frac{\partial f}{\partial x_n}(a)\end{pmatrix}=:\nabla f(a)=\grad(f(a))\in\R^n$$ Sei $D\subseteq\R^n$ offen, $a\in D$, $f: D\to\R^m$. - $f$ heißt in $a\in D$ (total) differenzierbar, wenn $f$ geschrieben werden kann als $$f(x)=\underbrace{f(a)}_{\in\R^m}+\underbrace{A}_{\in\M_{m,n}(\R)}\cdot(\underbrace{x-a}_{\in\R^m})+\underbrace{R(x)}_{\in\R^m},$$ wobei $A\in\M_{m,n}(\R)$ und $R: D\to\R^m$ mit $\lim_{x\to a}\frac{R(x)}{\|x-a\|}=0$ - $f$ heißt (total) differenzierbar, wenn in jedem Punkt von $D$ differenzierbar. Anderes: - $f:D\subseteq\R^n\to\R^m$ differenzierbar in $a\in D$ (D offen) $\implies f$ stetig in $a$. - **Tangentialebene**: $g(x)=f(a)+f'(a)\cdot(x-a)$ - $f$ differenzierbar in $a\in D\iff f_i$ differenzierbar in $a\in D\quad\forall i\in\{1,...,n\}$. ## Prüfen - ob in Punkt $p$ partiell differenzierbar: partielle Ableitungen bilden - falls bspw. Fallunterscheidung und $(0,0)$-Punkt: $h$-Definition für $x$/$y$ anwenden - Richtungsableitung: $f_v(x,y)=\frac{(x+hv_1,0+hv_2)-f(0,0)}{h}$ - total differenzierbar - je partiell ableiten und prüfen ob Ableitungen stetig - mit Richtungsleitung versuchen Gegenteil zu beweisen (TODO) # Ableitungsregeln - $(g\circ f)'(a)=g'(f(a))\cdot f'(a)$ - $(f+g)'(a)=f'(a)+g'(a)$ - $(\lambda f)'(a)=\lambda f'(a)$ - $(f^\top g)'(a)=f(a)^\top g'(a)+g(a)^\top f'(a)$ TODO: lhopital Anderes: - $\left(\ln x\right)'=\frac 1 x$ - $\left(\frac gh\right)'=\frac{h\cdot g'-g\cdot h'}{h^2}$ - $\left(\frac{a}{x^k}\right)'=-\frac{ka}{x^{k+1}}$ bzw. unten Kettenregel # Richtungsableitung Sei $D\subseteq\R^n$ offen, $f:D\to\R$, $v\in\R^n$ mit $\|v\|=1$. $f$ heißt in $a\in D$ differenzierbar in Richtung $v$, falls $\lim_{h\to0}\frac{f(a+hv)-f(a)}{h}$ exisitert. Der Grenzwert heißt Richtungsableitung von $f$ in Richtung $v$ in $a$, $\frac{\partial f}{\partial v}(a)$. # Satz von Schwarz TODO. # Definitheit 1. Partielle Ableitungen 2. Gradienten mit $0$ gleichsetzen 3. Hessematrix und Punkte einsetzen (falls $x$/$y$ vorhanden) 4. Über Eigenwerte oder Determinante bestimmen ## Matrix Eine symmetrische Matrix $A\in\M_n(\R)$ ist - positiv definit $\iff$ $\det(A_k)>0\quad\forall k\in\{1,...,n\}$ - negativ definit $\iff$ $\det(A_k)\begin{cases}<0&k\text{ ungerade}\\>0&k\text{ gerade}\end{cases}$ (-+-+..) TODO: über Eigenwerte # Extrema Sei $D\subseteq\R^n$ offen, $f\in\varphi^2(D,\R),\ a\in D,\ \nabla f(a)=0$. - $H_f(a)$ positiv definit $\implies$ $a$ Stelle eines lokalen Minimums. - $H_f(a)$ negativ definit $\implies$ $a$ Stelle eines lokalen Maximums. - $H_f(a)$ indefinit $\implies$ $a$ ist Sattelpunkt - Ist $H_f(a)$ positiv/negativ semidefinit, so ist keine Aussage möglich. # Taylor - Taylorpolynom: $T_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$ - Satz: $f(x)=T_n(x)+R_n(x)$ - $R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$ # Höhenlinien - $f(x,y)=c$ setzen - nach $y=...$ umformen - entweder verschiedene $c$ einsetzen oder geg. $N_c(f)$ # Implizite Funktionen TODO. # Umkehrfunktionen TODO. # Lagrange 1. Nebenbedingung mit $0$ gleichsetzen 2. Lagrange-Funktion, bspw. $\mathcal{L}(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda g(x,y)$ mit $g$ Nebenbedingung 3. Erste partielle Ableitungen der Lagrange Funktion ($\mathcal{L}_\lambda=g$) 4. Ableitungen mit $0$ gleichsetzen und lösen (Additionsverfahren gut) 5. Mehrere Ergebnisse dann Extrempunkte 6. Definitheit überprüfen (geränderte Matrix TODO?)