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@@ -11,7 +11,7 @@ Stark vereinfacht! - Das Muster wiederholt sich bis ins Unendliche - Das Koch Fraktal ist dem allen sehr ähnlich, wie wir bald feststellen werden -# Regeln +# Koch-Regeln - das Koch-Rezept :) 1. Mit einer geraden Linie starten 2. Linie in drei Teile aufteilen @@ -25,6 +25,7 @@ Zur Verständlichkeit ein Bild. - Ggf Splitscreen mit Regeln - Generationen darstellen (0..9) +- **Bei der Koch-Kurve wird immer von der unendlichen Generation/Iteration ausgegangen!** # Selbstähnlichkeit @@ -61,9 +62,9 @@ Zur Verständlichkeit ein Bild. ### Grenzwert - Der Grenzwert des Umfangs ins Unendliche geht gegen unendlich, da $\frac{4}{3}$ größer als 1 ist -- Interessant: Während die gesamte Länge der Koch-Kurve ins Unendliche geht, geht die Länge der Linien zu 0 +- Interessant: Während die gesamte Länge der Koch-Kurve ins Unendliche geht, geht die Länge der einzelnen Linien zu 0 -.. Umfang ist in dieser Form etwas speziell, da es ja nicht geschlossen ist => Schneeflocke +.. Umfang ist in dieser Form etwas speziell, da es ja nicht geschlossen ist => Schneeflocke später # Summenzeichen @@ -81,11 +82,41 @@ Monocle/Split-screen mit Simulation Generalisierung (klick) - Bei vorheriger Gleichung für Anzahl der Linien: $4^n$ +- Dreiecksfläche der derzeitigen Generation - => Die Anzahl der Linien der vorherigen Generation mit der Fläche der Dreiecke multiplizieren - In jeder Generation kommt $4^{n-1} \cdot (1/9)^{n - 1}$ Fläche dazu +Klick + +- Darstellung: Fläche zum Zeitpunkt n ist die Summe aller Flächen-Differenzen + +Durch Limes ins Unendliche kann die Fläche berechnet werden + +- Geometrische Reihe => **1,8** +- => Bestimmte Fläche, unendlicher Umfang/Länge + # Koch Schneeflocke - Wenn man statt einer anfänglichen Gerade drei Geraden nimmt, kann man daraus ein Dreieck formen - Dieses Dreieck hat für jede Seite die selben Regeln wie bei der Linie -- Der Umfang ist somit $$P_n = 3 \cdot s\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^n$$ +- Der Umfang ist somit dreimal so groß +- Fläche: An jeder Seite wie berechnet + mittleres Dreieck + +# Differenzierbarkeit + +- Eine Funktion ist differenzierbar, wenn man eine Tangente konstruieren kann +- Die Koch-Kurve hat keine Geraden und besteht im Unendlichen nur aus Winkeln +- => Nicht differenzierbar + +# Stetigkeit (vielleicht auslassen) + +Nicht stetig: + +- Definitionslücken +- Sprünge in der Funktion + +Stetig: + +- Umgangssprachlich: Sind ohne Abheben zeichenbar (stark vereinfacht) +- Sinus, Parabel, ... => Alle normalen Funktionen +- => Die Koch-Kurve ist stetig |