blob: 62108b201030ce595d520268e0623ba27c8433b4 (
plain) (
blame)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
|
<!DOCTYPE html>
<html>
<head>
<meta charset="utf-8" />
<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0, maximum-scale=1.0, user-scalable=no" />
<title>reveal.js</title>
<link rel="stylesheet" href="css/reset.css" />
<link rel="stylesheet" href="css/reveal.css" />
<link rel="stylesheet" href="css/theme/black.css" />
<link rel="stylesheet" href="css/style.css" />
<!-- Theme used for syntax highlighting of code -->
<link rel="stylesheet" href="lib/css/monokai.css" />
<!-- Printing and PDF exports -->
<script>
const link = document.createElement("link");
link.rel = "stylesheet";
link.type = "text/css";
link.href = window.location.search.match(/print-pdf/gi) ? "css/print/pdf.css" : "css/print/paper.css";
document.getElementsByTagName("head")[0].appendChild(link);
</script>
</head>
<body>
<div class="reveal">
<div class="slides">
<section>
<h1>Das Koch Fraktal</h1>
<small>Von Marvin Borner, TGI 12.1</small>
</section>
<section>
<h3>Gliederung</h3>
<ol>
<li>Fraktale</li>
<li>Koch-Kurve</li>
<li>Umfang</li>
<li>Fläche</li>
<li>Schneeflocke</li>
<li>Differenzierbarkeit</li>
</ol>
</section>
<section>
<h3>Fraktale</h3>
<section>
<ul>
<li class="fragment fade-in">Hohe Selbstähnlichkeit</li>
<li class="fragment fade-in">Mandelbrot</li>
<li class="fragment fade-in">Natur</li>
</ul>
</section>
<section>
<img
class="plain"
style="background: none; height: 500px;"
src="imgs/Romanesco.jpg"
alt="Hier könnte ihre Werbung stehen!"
/>
</section>
<section>
<img
class="plain"
style="background: none; height: 500px;"
src="imgs/Sierpinski.gif"
alt="Hier könnte ihre Werbung stehen!"
/>
</section>
</section>
<section>
<!-- Vorstellung -->
<section>
<h3>Koch-Regeln</h3>
<ol>
<li class="fragment fade-in">Mit einer geraden Linie starten</li>
<li class="fragment fade-in">Linie in drei Teile aufteilen</li>
<li class="fragment fade-in">Den mittleren Teil der Linie "radieren"</li>
<li class="fragment fade-in">
Den mittleren Teil zu einem gleichseitigen Dreieck verbinden
</li>
<li class="fragment fade-in">Mit allen neuen Linien wiederholen</li>
</ol>
</section>
<section>
<img
class="plain"
style="background: none;"
src="imgs/KochConstruction.svg"
alt="Hier könnte ihre Werbung stehen!"
/>
</section>
<section>
<div id="iterationCtr"></div>
<div id="flaecheErg"></div>
<div class="flexContainer">
<canvas id="koch"></canvas>
</div>
</section>
</section>
<section>
<h3>Selbstähnlichkeit</h3>
<img
class="plain"
style="background: none; height: 500px;"
src="imgs/KochSim.gif"
alt="Hier könnte ihre Werbung stehen!"
/>
</section>
<section>
<!-- Mit zwei browsern visualisieren (tiling!) -->
<section>
<h3>Umfang der Koch-Kurve</h3>
<div class="fragment fade-right" style="float: left;">
<p>Anzahl der Linien:</p>
<p>\[ N_n = N_{n-1} \cdot 4 = 4^n \]</p>
</div>
<div class="fragment fade-left" style="float: right;">
<p>Länge der Linien:</p>
<p>\[ S_n = \frac{S_{n-1}}{3} = \frac{s}{3^n} \]</p>
</div>
<div data-action="nebenrechnung" class="fragment fade-up" style="float: left;">
<p>Umfang:</p>
<p>\[ P_n = N_n\cdot S_n = s\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^n \]</p>
</div>
<div class="fragment fade-up" style="float: right;">
<p>Grenzwert:</p>
<p>\[ \lim_{n\to\infty}P_n = \infty \]</p>
</div>
<span data-action="gooo" class="fragment" style="display: none !important;"></span>
</section>
<section>
<h3>Nebenrechnung</h3>
<p class="fragment fade-up">\[ N_n = N_{n-1} \cdot 4 = 4^n \]</p>
<p class="fragment fade-up">\[ S_n = \frac{S_{n-1}}{3} = \frac{s}{3^n} \]</p>
<p class="fragment fade-up">
\[ P_n = N_n\cdot S_n = 4^n \cdot \frac{s}{3^n} = \frac{s \cdot 4^n}{3^n} = s \cdot
\frac{4^n}{3^n} \]
</p>
<span data-action="umfang-back" class="fragment" style="display: none !important;"></span>
</section>
</section>
<section>
<h3>Summenzeichen</h3>
<p>\[ \sum_{x=1}^{5} x^2 \]</p>
<p class="fragment fade-up">\[ = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 55 \]</p>
</section>
<section>
<h3>Fläche der Koch-Kurve</h3>
<section>
<div class="flexContainer">
<canvas id="dreieck"></canvas>
</div>
</section>
<section>
<p class="fragment fade-in">
Jedes neue Dreieck hat \( \frac{1}{9} \) des vorherigen Flächeninhalts
</p>
<p class="fragment fade-in">\[ N_n = 4^n \]</p>
<p class="fragment fade-in">\[ A_{\triangle_n} = \left(\frac{1}{9}\right)^n \]</p>
<p class="fragment fade-in">
\[ \Delta A_n = 4^{n-1} \cdot \left(\frac{1}{9}\right)^{n - 1} =
\left(\frac{4}{9}\right)^{n-1} \]
</p>
</section>
<section>
<p>\[ A_n = \sum_{k=0}^{n} \left(\frac{4}{9}\right)^k \]</p>
</section>
<section>
<p>\[ \lim_{n\to\infty}A_n = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{4}{9}\right)^n \]</p>
<p class="fragment fade-in">
\[ = \frac{1}{1 - \frac{4}{9}} = \frac{9}{5} = \underline{\underline{1,8}} \]
</p>
</section>
</section>
<section>
<h3>Die Koch Schneeflocke</h3>
<section>
<img
class="plain"
style="background: none;"
src="imgs/KochFlake.svg"
alt="Hier könnte ihre Werbung stehen!"
/>
</section>
<!-- <span class="fragment" style="display: none !important;"></span> -->
<section>
\[ P_n = \textcolor{red}{3} \cdot s \cdot \frac{4^n}{3^n} \]
\[ \lim_{n\to\infty}A_n = \textcolor{red}{3} \cdot \textcolor{red}{\frac{1}{9}} \cdot \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{4}{9}\right)^n + \textcolor{red}{1} \]
\[ = 3 \cdot \frac{\frac{1}{9}}{1 - \frac{4}{9}} + 1 = \underline{\underline{1.6}} \]
</section>
</section>
<section>
<h3>Differenzierbarkeit</h3>
<p class="fragment fade-in">Generell: Man kann eine Tangente konstruieren</p>
<p class="fragment fade-in">Die Koch-Kurve ist an keinem Punkt differenzierbar</p>
</section>
<section>
<h3>Stetigkeit</h3>
<section>
<p class="fragment fade-in">Nicht stetig:</p>
<ul>
<li class="fragment fade-in">Definitionslücken</li>
<li class="fragment fade-in">
Sprünge in der Funktion: \[ f(x) = \begin{cases} x, & \text{wenn x $\leqslant$ 1} \\ x +
1, & \text{wenn x > 1} \\ \end{cases} \]
</li>
</ul>
<p class="fragment fade-in">Stetig:</p>
<ul>
<li class="fragment fade-in">"Sind ohne abheben zeichenbar"</li>
<li class="fragment fade-in">Alle "normalen" Funktionen</li>
</ul>
</section>
<section>
<p>Die Koch-Kurve ist stetig</p>
</section>
</section>
<section>
<h3>Quellen</h3>
<small>https://en.wikipedia.org/wiki/Koch_snowflake</small>
<small>https://de.wikipedia.org/wiki/Selbst%C3%A4hnlichkeit</small>
<small>
http://www.mathematik.uni-ulm.de/stochastik/lehre/ws06_07/seminar_fraktale/daikeler.pdf
</small>
<small>
https://www.uni-ulm.de/fileadmin/website_uni_ulm/mawi.inst.110/mitarbeiter/spodarev/publications/fraktale.pdf
</small>
</section>
</div>
</div>
<script src="js/reveal.js"></script>
<script src="js/main.js"></script>
</body>
</html>
|
