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diff --git a/notes/mathe1/main.md b/notes/mathe1/main.md new file mode 100644 index 0000000..343dbb5 --- /dev/null +++ b/notes/mathe1/main.md @@ -0,0 +1,1815 @@ +--- +title: \vspace{-2.0cm}Mathematik für Informatik 1 +date: \today +toc-title: Inhalt +author: Marvin Borner +header-includes: + - \usepackage{csquotes} + - \usepackage{svg} + - \usepackage{environ} + - \usepackage{tikz,pgfplots} + - \usepackage{titleps} + - \usetikzlibrary{calc,trees,positioning,arrows,fit,shapes} + - \newpagestyle{main}{\sethead{\toptitlemarks\thesection\quad\sectiontitle}{}{\thepage}\setheadrule{.4pt}} + - \pagestyle{main} + - \newcommand\N{\mathbb{N}} + - \newcommand\R{\mathbb{R}} + - \newcommand\Z{\mathbb{Z}} + - \newcommand\Q{\mathbb{Q}} + - \newcommand\C{\mathbb{C}} + - \renewcommand\P{\mathbb{P}} + - \newcommand{\cupdot}{\mathbin{\mathaccent\cdot\cup}} + - \newcommand{\bigcupdot}{\dot{\bigcup}} +--- + +# Logik + +--- + +- Aussagen werden einem Wahrheitswert zugeordnet: **w** für _wahr_ und **f** für _falsch_ +- Eine Aussage, der der Wahrheitswert **w** schlicht durch Festlegung zugewiesen wurde, heißt **Axiom** + +--- + +## Negation + +- Notation: $\neg X$ +- Gesprochen: \enquote{nicht X} + +| $X$ | $\neg X$ | +| :---: | :------: | +| **w** | **f** | +| **f** | **w** | + +- $\neg (\forall x : P) \iff \exists x : (\neg P)$ +- $\neg (\exists x : P) \iff \forall x : (\neg P)$ + +## Konjunktion + +- Notation: $X \land Y$ +- Gesprochen: \enquote{X und Y} + +| $X$ | $Y$ | $X \land Y$ | +| :---: | :---: | :---------: | +| **w** | **w** | **w** | +| **w** | **f** | **f** | +| **f** | **w** | **f** | +| **f** | **f** | **f** | + +## Disjunktion + +- Notation: $X \lor Y$ +- Gesprochen: \enquote{X oder Y} + +| $X$ | $Y$ | $X \lor Y$ | +| :---: | :---: | :--------: | +| **w** | **w** | **w** | +| **w** | **f** | **w** | +| **f** | **w** | **w** | +| **f** | **f** | **f** | + +## Nand + +- Notation: $X \uparrow Y$ +- Gesprochen: \enquote{nicht (X und Y)} + +| $X$ | $Y$ | $X \uparrow Y$ | +| :---: | :---: | :------------: | +| **w** | **w** | **f** | +| **w** | **f** | **w** | +| **f** | **w** | **w** | +| **f** | **f** | **w** | + +## Äquivalenz + +- Notation: $X \iff Y$ +- Gesprochen: \enquote{X genau dann wenn Y} + +| $X$ | $Y$ | $X \iff Y$ | +| :---: | :---: | :--------: | +| **w** | **w** | **w** | +| **w** | **f** | **f** | +| **f** | **w** | **f** | +| **f** | **f** | **w** | + +- Alternative: $(X \implies Y) \land (Y \implies X)$ + +## Implikation + +- Notation: $X \implies Y$ +- Gesprochen: \enquote{Aus X folgt Y} + +| $X$ | $Y$ | $X \implies Y$ | +| :---: | :---: | :------------: | +| **w** | **w** | **w** | +| **w** | **f** | **f** | +| **f** | **w** | **w** | +| **f** | **f** | **w** | + +- Alternative: $(\neg X) \lor Y$ +- Der Wahrheitswert der Implikation $X \implies Y$ bewertet nur die Korrektheit des Schließens, nicht jedoch die Wahrheit der Aussagen $X$ und $Y$ + +## Kontraposition + +- Definition: $X \implies Y \iff \neg Y \implies \neg X$ + +| $X$ | $Y$ | $\neg Y$ | $\neg Y$ | $X \implies Y$ | $\neg Y \implies \neg x$ | +| :---: | :---: | :------: | :------: | :------------: | :----------------------: | +| **w** | **w** | **f** | **f** | **w** | **w** | +| **w** | **f** | **f** | **w** | **f** | **f** | +| **f** | **w** | **w** | **f** | **w** | **w** | +| **f** | **f** | **w** | **w** | **w** | **w** | + +## Quantoren + +- $\forall$: \enquote{für alle} +- $\exists$: \enquote{es existiert ein} +- $\exists!$: \enquote{es existiert genau ein} +- $\nexists$: \enquote{es existiert kein} + +## Gesetze + +- Assoziativgesetze + - $(X \lor Y) \lor Z \iff X \lor (X \lor Z)$ + - $(X \land Y) \land Z \iff X \land (X \land Z)$ +- Kommutativgesetze + - $X \lor Y \iff Y \lor X$ + - $X \land Y \iff Y \land X$ +- Distributivgesetze + - $X \land (Y \lor Z) \iff (X \land Y) \lor (X \land Z)$ + - $X \lor (Y \land Z) \iff (X \lor Y) \land (X \lor Z)$ +- De Morgansche Regeln + - $\neg (X \lor Y) \iff \neg X \land \neg Y$ + - $\neg (X \land Y) \iff \neg X \lor \neg Y$ + +# Mengen + +--- + +Eine _Menge_ ist eine Zusammenfassung von bestimmten, wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Die in einer Menge zusammengefassten Objekte heißen _Elemente_ der Menge. + +--- + +## Notation + +- Mengen angeben durch Auflisten der Elemente: $\{ 1,2,5,3,4,0 \}$ +- Mengen angeben durch Vorschreiben einer Eigenschaft: $\{ x\ \vert\ x \text{ ist eine natürliche Zahl kleiner als } 6 \}$ +- $x \in M$ heißt \enquote{x ist Element von M} +- $x \notin M$ heißt \enquote{x ist nicht Element von M} +- $\{ \}$ und $\emptyset$ bezeichnen die _leere Menge_ + +## Inklusionsrelationen + +- $M \subset N \iff (x \in M \implies x \in N)$ +- $M = N \iff (M \subset N \land N \subset M)$ +- $M \neq N \iff \neg (M = N) \iff ((\exists x \in M : x \notin N) \lor (\exists x \in N : x \notin M))$ + +## Zahlenbereiche + +$$ \P \subsetneq \N \subsetneq \Z \subsetneq \Q \subsetneq \R \subsetneq \C $$ + +- **Natürliche Zahlen**: $\N = \{ 0,1,2,3,4,5,... \}$ +- **Positive natürliche Zahlen**: $\N_{>0} = \{ 1,2,3,4,5,... \}$ +- **Ganze Zahlen**: $\Z = \{ ...,-3,-2,-1,0,1,2,3,... \}$ +- **Rationale Zahlen**: $\Q = \{ \frac{p}{q}\ \vert\ p,q \in Z, q \neq 0 \}$ +- **Komplexe Zahlen**: $\C = 42$ TODO +- **Primzahlen**: Menge der natürlichen Zahlen $p$, die genau zwei positive Teiler, nämlich $1$ und $p$, haben + +## Operationen von Mengen + +- $M \cap N = \{ x \mid x \in M \land x \in N \}$ heißt der _Durchschnitt_ von $M$ und $N$ +- $M \cup N = \{ x \mid x \in M \lor x \in N \}$ heißt die _Vereinigung_ von $M$ und $N$ +- $M \setminus N = \{ x \mid x \in M \land x \notin N \}$ heißt die _Differenzmenge_ von $M$ und $N$ +- $M \times N = \{ (x, y) \mid x \in M \land y \in N \}$ heißt das _kartesische Produkt_ von $M$ und $N$. Dabei ist $(x, y)$ ein _geordnetes Paar_, und für zwei geordnete Paare $(x, y), (u, v) \in M \times N$ gilt: $$(x, y) = (u, v) \iff (x = u \land y = v)$$ +- $M$ und $N$ heißen genau dann _disjunkt_, wenn $M \cap N = \emptyset$, d.h. wenn sie kein Element gemeinsam besitzen +- $P = M \cupdot N \iff (P = M \cup N \land M \cap N = \emptyset)$ beschreibt die _disjunkte Vereinigung_ +- $\bigcap_{i \in I} M_i = \{ x \mid \forall i \in I : x \in M_i \}$ heißt der _Durchschnitt_ der $M_i$ +- $\bigcup_{i \in I} M_i = \{ x \mid \exists i \in I : x \in M_i \}$ heißt die _Vereinigung_ der $M_i$ +- $P = \bigcupdot_{i \in I} M_i \iff (P = \bigcup_{i \in I} M_i \land M_i \cap M_j = \emptyset\ \forall i,j \in I$ mit $i \neq j)$ + +Beispiel mit den Mengen $I = \{ 1, 2, 3 \}$, $M_1 = \{ a, 1, c \}$, $M_2 = \{ b, 1, e \}$ und $M_3 = \{ d, 1, f \}$: +$$\bigcap_{i \in I} = \{ 1 \} \text { und } \bigcup_{i \in I} = \{ 1, a, b, c, d, e, f \}$$ + +\begin{tikzpicture}[thick, set/.style = {circle, minimum size = 2cm, fill=gray!30}] +\newcommand\intersection{0.8} + +% Set M +\node[set,label={135:$M$}] (M) at (0,0) {}; + +% Set N +\node[set,label={45:$N$}] (N) at (\intersection,0) {}; + +% Intersection +\begin{scope} +\clip (0,0) circle(1cm); +\clip (\intersection,0) circle(1cm); +\fill[orange!50](0,0) circle(1cm); +\end{scope} + +% Circles outline +\draw (0,0) circle(1cm); +\draw (\intersection,0) circle(1cm); + +% Set intersection label +\node at (\intersection/2,-1.5) {$M \cap N$}; + +\end{tikzpicture} +\begin{tikzpicture}[thick, set/.style = {circle, minimum size = 2cm, fill=orange!50}] +\newcommand\intersection{0.8} + +% Set M +\node[set,label={135:$M$}] (M) at (0,0) {}; + +% Set N +\node[set,label={45:$N$}] (N) at (\intersection,0) {}; + +% Circles outline +\draw (0,0) circle(1cm); +\draw (\intersection,0) circle(1cm); + +% Set intersection label +\node at (\intersection/2,-1.5) {$M \cup N$}; + +\end{tikzpicture} +\begin{tikzpicture}[thick, set/.style = {circle, minimum size = 2cm, fill=gray!30}] +\newcommand\intersection{0.8} + +% Set M +\node[set,fill=orange!50,label={135:$M$}] (M) at (0,0) {}; + +% Set N +\node[set,label={45:$N$}] (N) at (\intersection,0) {}; + +% Intersection +\begin{scope} +\clip (0,0) circle(1cm); +\clip (\intersection,0) circle(1cm); +\fill[gray!30](0,0) circle(1cm); +\end{scope} + +% Circles outline +\draw (0,0) circle(1cm); +\draw (\intersection,0) circle(1cm); + +% Set intersection label +\node at (\intersection/2,-1.5) {$M \setminus N$}; + +\end{tikzpicture} +\begin{tikzpicture}[thick, set/.style = {circle, minimum size = 2cm, fill=orange!50}] +\newcommand\intersection{2.1} + +% Set M +\node[set,label={135:$M$}] (M) at (0,0) {}; + +% Set N +\node[set,label={45:$N$}] (N) at (\intersection,0) {}; + +% Circles outline +\draw (0,0) circle(1cm); +\draw (\intersection,0) circle(1cm); + +% Set intersection label +\node at (\intersection/2,-1.5) {$M \setminus N$}; + +\end{tikzpicture} + +## Spezielle Mengen + +### Komplementärmenge + +Für eine Teilmenge $M$ einer Menge $N$ ist $\overline{M} = N \setminus M$. + +\begin{center}\begin{tikzpicture}[thick, set/.style = {circle, minimum size = 4cm, fill=gray!30}] + +% Set N +\node[set,fill=orange!50,label={45:$N$}] (N) at (0,0) {}; + +% Set M +\node[set,minimum size=2cm,label={135:$M$}] (M) at (0,0) {}; + +% Circles outline +\draw (0,0) circle(2cm); +\draw (0,0) circle(1cm); + +% Set intersection label +\node at (0,-2.5) {$\overline{M} = N \setminus N$}; + +\end{tikzpicture}\end{center} + +### Potenzmenge + +Für eine Menge $M$ ist die Potenzmenge $\mathcal{P}(M) = \{ A\ \vert\ A \subset M \}$. + +\begin{center}\begin{tikzpicture} +\node (max) at (0,4) {$\{ x,y,z \}$}; +\node (a) at (-2,2) {$\{ x,y \}$}; +\node (b) at (0,2) {$\{ x,z \}$}; +\node (c) at (2,2) {$\{ y,z \}$}; +\node (d) at (-2,0) {$\{ x \}$}; +\node (e) at (0,0) {$\{ y \}$}; +\node (f) at (2,0) {$\{ z \}$}; +\node (min) at (0,-2) {$\emptyset$}; +\draw (min) -- (d) -- (a) -- (max) -- (b) -- (f) +(e) -- (min) -- (f) -- (c) -- (max) +(d) -- (b); +\draw[preaction={draw=white, -,line width=4pt}] (a) -- (e) -- (c); +\end{tikzpicture}\end{center} + +Außerdem gilt mit der endlichen Menge $M$: $|\mathcal{P}(M)| = 2^{|M|}$ + +## Gesetze + +- Assoziativgesetze + - $(M \cup N) \cup P = M \cup (N \cup P)$ + - $(M \cap N) \cap P = M \cap (N \cap P)$ +- Kommutativgesetze + - $M \cup N = N \cup M$ + - $M \cap N = N \cap M$ +- Distributivgesetze + - $M \cap (N \cup P) = (M \cap N) \cup (M \cap P)$ + - $M \cup (N \cap P) = (M \cup N) \cap (M \cup P)$ +- Identitätsgesetze + - $M \cup \emptyset = M$ + - $M \subset N \implies M \cap N = M$ +- Komplementgesetze + - $M \subset N \implies M \cup (N \setminus M) = N$ + - $M \subset N \implies M \cap (N \setminus M) = \emptyset$ +- De Morgansche Regeln + - $M \setminus \bigcup_{i \in I} M_i = \bigcap_{i \in I} M \setminus M_i$ + - $M \setminus \bigcap_{i \in I} M_i = \bigcup_{i \in I} M \setminus M_i$ + +# Abbildungen + +--- + +Es seien $M$ und $N$ zwei Mengen. Eine **Abbildung** oder **Funktion** $f$ von $M$ nach $N$ ist eine _eindeutige Zuordnung_, die $jedem$ Element $x \in M$ _genau ein_ Element $f(x) \in N$ zuweist. Man verwendet den Begriff _Funktion_ nur dann, wenn $N = \R$ ist. + +--- + +Man nennt $M$ den **Definitionsbereich** von $f$ und $N$ den **Ziel-** oder **Wertebereich**. + +_Notation_: $$f: M \to N,\ x \mapsto f(x)$$ +Für zwei Abbildungen $f: M \to N$ und $g: X \to Y$ gilt: $$f = g \iff (M = X \land N = Y \land \forall x \in M : f(x) = g(x))$$ + +## Legitime Abbildungen + +\begin{center}\begin{tikzpicture}[ele/.style={fill=black,circle,minimum width=.8pt,inner sep=1pt},every fit/.style={ellipse,draw,inner sep=-2pt}] +\node[ele,label=left:$a$] (a1) at (0,3) {}; +\node[ele,label=left:$b$] (a2) at (0,2) {}; +\node[ele,label=left:$c$] (a3) at (0,1) {}; + +\node[ele,label=right:$1$] (b1) at (2,3) {}; +\node[ele,label=right:$2$] (b2) at (2,2) {}; +\node[ele,label=right:$3$] (b3) at (2,1) {}; +\node[ele,label=right:$4$] (b4) at (2,0) {}; + +\node[draw,fit= (a1) (a2) (a3),minimum width=1.4cm] {} ; +\node[draw,fit= (b1) (b2) (b3) (b4),minimum width=1.4cm] {} ; +\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a1) -- (b1); +\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a2) -- (b4); +\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a3) -- (b2); +\end{tikzpicture} +\hspace{1cm} +\begin{tikzpicture}[ele/.style={fill=black,circle,minimum width=.8pt,inner sep=1pt},every fit/.style={ellipse,draw,inner sep=-2pt}] +\node[ele,label=left:$a$] (a1) at (0,3) {}; +\node[ele,label=left:$b$] (a2) at (0,2) {}; +\node[ele,label=left:$c$] (a3) at (0,1) {}; + +\node[ele,label=right:$1$] (b1) at (2,3) {}; +\node[ele,label=right:$2$] (b2) at (2,2) {}; +\node[ele,label=right:$3$] (b3) at (2,1) {}; +\node[ele,label=right:$4$] (b4) at (2,0) {}; + +\node[draw,fit= (a1) (a2) (a3),minimum width=1.4cm] {} ; +\node[draw,fit= (b1) (b2) (b3) (b4),minimum width=1.4cm] {} ; +\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a1) -- (b4); +\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a2) -- (b2); +\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a3) -- (b1); +\end{tikzpicture}\end{center} + +## Illegitime Abbildungen + +\begin{center}\begin{tikzpicture}[ele/.style={fill=black,circle,minimum width=.8pt,inner sep=1pt},every fit/.style={ellipse,draw,inner sep=-2pt}] +\node[ele,label=left:$a$] (a1) at (0,3) {}; +\node[ele,fill=red,label=left:$b$] (a2) at (0,2) {}; +\node[ele,label=left:$c$] (a3) at (0,1) {}; + +\node[ele,label=right:$1$] (b1) at (2,3) {}; +\node[ele,label=right:$2$] (b2) at (2,2) {}; +\node[ele,label=right:$3$] (b3) at (2,1) {}; +\node[ele,label=right:$4$] (b4) at (2,0) {}; + +\node[draw,fit= (a1) (a2) (a3),minimum width=1.4cm] {} ; +\node[draw,fit= (b1) (b2) (b3) (b4),minimum width=1.4cm] {} ; +\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a1) -- (b1); +\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a2) -- (b2); +\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a2) -- (b3); +\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a3) -- (b3); +\end{tikzpicture} +\hspace{1cm} +\begin{tikzpicture}[ele/.style={fill=black,circle,minimum width=.8pt,inner sep=1pt},every fit/.style={ellipse,draw,inner sep=-2pt}] +\node[ele,label=left:$a$] (a1) at (0,3) {}; +\node[ele,fill=red,label=left:$b$] (a2) at (0,2) {}; +\node[ele,label=left:$c$] (a3) at (0,1) {}; + +\node[ele,label=right:$1$] (b1) at (2,3) {}; +\node[ele,label=right:$2$] (b2) at (2,2) {}; +\node[ele,label=right:$3$] (b3) at (2,1) {}; +\node[ele,label=right:$4$] (b4) at (2,0) {}; + +\node[draw,fit= (a1) (a2) (a3),minimum width=1.4cm] {} ; +\node[draw,fit= (b1) (b2) (b3) (b4),minimum width=1.4cm] {} ; +\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a1) -- (b1); +\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a3) -- (b3); +\end{tikzpicture}\end{center} + +## Rechenregeln + +Mit den Abbildungen/Funktionen $f: U\to\R$, $g: V\to\R$ und $c\in\R$ gilt: +\begin{gather*} +c \cdot f: U\to\R \to \R: x \mapsto c \cdot f(x) \\ +f + g: U \cap V \to \R: x \mapsto f(x) + g(x) \\ +f - g: U \cap V \to \R: x \mapsto f(x) - g(x) \\ +f \cdot g: U \cap V \to \R: x \mapsto f(x) \cdot g(x) \\ +\end{gather*} +Falls außerdem $\forall x \in U \cap V: g(x) \neq 0$: +$$\frac{f}{g}: U \cap V \to \R: x \mapsto \frac{f(x)}{g(x)}$$ + +## Selektionen + +### Einschränkung + +Mit der Abbildung $f: M \to N$ und $A \subset M$, ist $$f_{\vert A}: A \to N,\ x \mapsto f(x)$$ die **Einschränkung** von $f$ auf $A$. Beispiel mit $A = \{ b,c \}$: + +\begin{center}\begin{tikzpicture}[ele/.style={fill=black,circle,minimum width=.8pt,inner sep=1pt},every fit/.style={ellipse,draw,inner sep=-2pt}] +\node[ele,label=left:$a$] (a1) at (0,3) {}; +\node[ele,label=left:$b$] (a2) at (0,2) {}; +\node[ele,label=left:$c$] (a3) at (0,1) {}; + +\node[ele,label=right:$1$] (b1) at (2,3) {}; +\node[ele,label=right:$2$] (b2) at (2,2) {}; +\node[ele,label=right:$3$] (b3) at (2,1) {}; +\node[ele,label=right:$4$] (b4) at (2,0) {}; + +\node[draw,fit= (a1) (a2) (a3),minimum width=1.4cm] {} ; +\node[draw,fit= (b1) (b2) (b3) (b4),minimum width=1.4cm] {} ; +\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a1) -- (b3); +\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a2) -- (b2); +\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a3) -- (b1); + +\node at (1,-1) {$f$}; +\end{tikzpicture} +\hspace{1cm} +\begin{tikzpicture}[ele/.style={fill=black,circle,minimum width=.8pt,inner sep=1pt},every fit/.style={ellipse,draw,inner sep=-2pt}] +\node[ele,label=left:$ $] (a1) at (0,3) {}; +\node[ele,label=left:$b$] (a2) at (0,2) {}; +\node[ele,label=left:$c$] (a3) at (0,1) {}; + +\node[ele,label=right:$1$] (b1) at (2,3) {}; +\node[ele,label=right:$2$] (b2) at (2,2) {}; +\node[ele,label=right:$3$] (b3) at (2,1) {}; +\node[ele,label=right:$4$] (b4) at (2,0) {}; + +\node[draw,fit= (a1) (a2) (a3),minimum width=1.4cm] {} ; +\node[draw,fit= (b1) (b2) (b3) (b4),minimum width=1.4cm] {} ; +\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a2) -- (b2); +\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a3) -- (b1); + +\node at (1,-1) {$f_{\vert A}$}; +\end{tikzpicture}\end{center} + +### Identität + +Mit der Menge $M$ ist die Abbildung $$\text{id}_M : M \to M,\ x \mapsto x$$ die **Identität** auf $M$. Beispiel mit $M = \{ 1,2,3 \}$: + +\begin{center}\begin{tikzpicture}[ele/.style={fill=black,circle,minimum width=.8pt,inner sep=1pt},every fit/.style={ellipse,draw,inner sep=-2pt}] +\node[ele,label=left:$1$] (a1) at (0,3) {}; +\node[ele,label=left:$2$] (a2) at (0,2) {}; +\node[ele,label=left:$3$] (a3) at (0,1) {}; + +\node[ele,label=right:$1$] (b1) at (2,3) {}; +\node[ele,label=right:$2$] (b2) at (2,2) {}; +\node[ele,label=right:$3$] (b3) at (2,1) {}; + +\node[draw,fit= (a1) (a2) (a3),minimum width=1.4cm] {} ; +\node[draw,fit= (b1) (b2) (b3),minimum width=1.4cm] {} ; +\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a1) -- (b1); +\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a2) -- (b2); +\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a3) -- (b3); + +\node at (1,0) {$\text{id}_M$}; +\end{tikzpicture}\end{center} + +### Graph + +Mit der Abbildung $f: M \to N$ ist $$\text{Graph}(f) = \{ (x, f(x))\ \vert\ x \in M \} \subset M \times N$$ der **Graph** von $f$. Beispielhafte Visualisierung der Abbildung $f: \R\to\R,\ x \mapsto x^2$: + +<!-- prettier-ignore --> +\begin{center}\begin{tikzpicture} +\begin{axis}[axis lines = center] +\addplot[domain=-5:5,color=red]{x*x}; +\end{axis} +\end{tikzpicture}\end{center} + +- Für zwei Abbildungen $f: M \to N$ und $g: P \to N$ gilt: $$f = g \iff \text{Graph}(f) = \text{Graph}(g)$$ +- Ist $\Gamma \subset M \times N$ so, dass $$\forall x \in M\ \exists!\ y \in N: (x,y) \in \Gamma,$$ dann gibt es eine Abbildung $f: M \to N$ mit $\Gamma = \text{Graph}(f)$ + +### Bild + +Mit der Abbildung $f: M \to N$ und $A \subset M$ ist $$f(A) = \{ f(x)\ \vert\ x \in A \} \subset N$$ das **Bild** von $A$ _unter_ $f$. Beispiel mit $f: \R\to\R,\ x \mapsto x^2$ und $A = \{ -2,-1,0,1,2 \} \subset M$: $$f(A) = \{ 0,1,4 \}$$ +$\text{im}(f) = f(M) \subset N$ heißt das **Bild** von $f$. Umgangssprachlich bezeichnet das die Menge des getroffenen Zielbereichs. Mit vorigem Beispiel: $\text{im}(f) = \{ x\in\R\ \vert\ x \geq 0 \}$. + +### Urbild + +Mit der Abbildung $f: M \to N$ und $B \subset N$ ist $$f^{-1}(B) = \{ x \in M\ \vert\ f(x) \in B \} \subset M$$ das **Urbild** von $B$ unter $f$. Beispiel mit $f: \R\to\R,\ x \mapsto x^2$ und $B = \{ 0, 1, 4 \} \subset N$: $$f^{-1}(B) = \{ -2,-1,0,1,2 \}$$ +Ist $y \in N$ und $x \in M$ mit $f(x) = y$, so nennt man $x$ **ein Urbild** von $y$ unter $f$. + +## Nachfolgerfunktion + +Die Abbildung $$\text{nf}: \N\to\N,\ x \mapsto x + 1$$ nennt man **Nachfolgerfunktion**. Es gilt $$\text{im}(\text{nf}) = \N \setminus \{ 0 \}$$ und $$\forall y \in \text{im}(f: \text{nf}^{-1}(\{ y \}) = \{ y - 1 \}$$ + +## Eindeutigkeiten + +### Injektivität (linkseindeutig) + +Mit Abbildung $f: M \to N$: + +$$f \text{ ist injektiv} \iff \forall x,x' \in M: f(x) = f(x') \implies x = x'$$ +oder +$$f \text{ ist injektiv} \iff \text{jedes } y \in N \text{ hat höchstens ein Urbild}$$ + +\begin{center}\begin{tikzpicture}[ele/.style={fill=black,circle,minimum width=.8pt,inner sep=1pt},every fit/.style={ellipse,draw,inner sep=-2pt}] +\node[ele,label=left:$a$] (a1) at (0,3) {}; +\node[ele,label=left:$b$] (a2) at (0,2) {}; +\node[ele,label=left:$c$] (a3) at (0,1) {}; + +\node[ele,label=right:$1$] (b1) at (2,3) {}; +\node[ele,label=right:$2$] (b2) at (2,2) {}; +\node[ele,label=right:$3$] (b3) at (2,1) {}; +\node[ele,label=right:$4$] (b4) at (2,0) {}; + +\node[draw,fit= (a1) (a2) (a3),minimum width=1.4cm] {} ; +\node[draw,fit= (b1) (b2) (b3) (b4),minimum width=1.4cm] {} ; +\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a1) -- (b1); +\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a2) -- (b2); +\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a3) -- (b4); + +\node at (1,-1) {injektiv}; +\end{tikzpicture} +\hspace{1cm} +\begin{tikzpicture}[ele/.style={fill=black,circle,minimum width=.8pt,inner sep=1pt},every fit/.style={ellipse,draw,inner sep=-2pt}] +\node[ele,label=left:$a$] (a1) at (0,3) {}; +\node[ele,label=left:$b$] (a2) at (0,2) {}; +\node[ele,label=left:$c$] (a3) at (0,1) {}; + +\node[ele,label=right:$1$] (b1) at (2,3) {}; +\node[ele,fill=red,label=right:$2$] (b2) at (2,2) {}; +\node[ele,label=right:$3$] (b3) at (2,1) {}; +\node[ele,label=right:$4$] (b4) at (2,0) {}; + +\node[draw,fit= (a1) (a2) (a3),minimum width=1.4cm] {} ; +\node[draw,fit= (b1) (b2) (b3) (b4),minimum width=1.4cm] {} ; +\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a1) -- (b2); +\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a2) -- (b2); +\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a3) -- (b4); + +\node at (1,-1) {nicht injektiv}; +\end{tikzpicture}\end{center} + +### Surjektivität (rechtstotal) + +Mit Abbildung $f: M \to N$: + +$$f \text{ ist surjektiv} \iff \forall y \in N\ \exists x \in M: f(x) = y$$ +oder +$$f \text{ ist surjektiv} \iff \text{im}(f) = N$$ +oder +$$f \text{ ist surjektiv} \iff \text{jedes } y \in N \text{ hat mindestens ein Urbild}$$ + +\begin{center}\begin{tikzpicture}[ele/.style={fill=black,circle,minimum width=.8pt,inner sep=1pt},every fit/.style={ellipse,draw,inner sep=-2pt}] +\node[ele,label=left:$a$] (a1) at (0,3) {}; +\node[ele,label=left:$b$] (a2) at (0,2) {}; +\node[ele,label=left:$c$] (a3) at (0,1) {}; +\node[ele,label=left:$d$] (a4) at (0,0) {}; + +\node[ele,label=right:$1$] (b1) at (2,3) {}; +\node[ele,label=right:$2$] (b2) at (2,2) {}; +\node[ele,label=right:$3$] (b3) at (2,1) {}; + +\node[draw,fit= (a1) (a2) (a3) (a4),minimum width=1.4cm] {} ; +\node[draw,fit= (b1) (b2) (b3),minimum width=1.4cm] {} ; +\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a1) -- (b1); +\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a2) -- (b2); +\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a3) -- (b3); +\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a4) -- (b3); + +\node at (1,-1) {surjektiv}; +\end{tikzpicture} +\hspace{1cm} +\begin{tikzpicture}[ele/.style={fill=black,circle,minimum width=.8pt,inner sep=1pt},every fit/.style={ellipse,draw,inner sep=-2pt}] +\node[ele,label=left:$a$] (a1) at (0,3) {}; +\node[ele,label=left:$b$] (a2) at (0,2) {}; +\node[ele,label=left:$c$] (a3) at (0,1) {}; +\node[ele,label=left:$d$] (a4) at (0,0) {}; + +\node[ele,label=right:$1$] (b1) at (2,3) {}; +\node[ele,fill=red,label=right:$2$] (b2) at (2,2) {}; +\node[ele,label=right:$3$] (b3) at (2,1) {}; + +\node[draw,fit= (a1) (a2) (a3) (a4),minimum width=1.4cm] {} ; +\node[draw,fit= (b1) (b2) (b3),minimum width=1.4cm] {} ; +\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a1) -- (b1); +\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a2) -- (b3); +\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a3) -- (b3); +\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a4) -- (b3); + +\node at (1,-1) {nicht surjektiv}; +\end{tikzpicture}\end{center} + +### Bijektivität (eineindeutig) + +Mit Abbildung $f: M \to N$: + +$$f \text{ ist bijektiv} \iff f \text{ ist injektiv und surjektiv}$$ +oder +$$f \text{ ist bijektiv} \iff g: N \to M \text{ existiert}: (g \circ f = \text{id}_M) \land (f \circ g = \text{id}_N)$$ +oder +$$f \text{ ist bijektiv} \iff \text{jedes } y \in N \text{ hat genau ein Urbild}$$ + +\begin{center}\begin{tikzpicture}[ele/.style={fill=black,circle,minimum width=.8pt,inner sep=1pt},every fit/.style={ellipse,draw,inner sep=-2pt}] +\node[ele,label=left:$a$] (a1) at (0,3) {}; +\node[ele,label=left:$b$] (a2) at (0,2) {}; +\node[ele,label=left:$c$] (a3) at (0,1) {}; +\node[ele,label=left:$d$] (a4) at (0,0) {}; + +\node[ele,label=right:$1$] (b1) at (2,3) {}; +\node[ele,label=right:$2$] (b2) at (2,2) {}; +\node[ele,label=right:$3$] (b3) at (2,1) {}; +\node[ele,label=right:$4$] (b4) at (2,0) {}; + +\node[draw,fit= (a1) (a2) (a3) (a4),minimum width=1.4cm] {} ; +\node[draw,fit= (b1) (b2) (b3) (b4),minimum width=1.4cm] {} ; +\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a1) -- (b2); +\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a2) -- (b3); +\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a3) -- (b4); +\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a4) -- (b1); + +\node at (1,-1) {bijektiv}; +\end{tikzpicture} +\hspace{1cm} +\begin{tikzpicture}[ele/.style={fill=black,circle,minimum width=.8pt,inner sep=1pt},every fit/.style={ellipse,draw,inner sep=-2pt}] +\node[ele,label=left:$a$] (a1) at (0,3) {}; +\node[ele,label=left:$b$] (a2) at (0,2) {}; +\node[ele,label=left:$c$] (a3) at (0,1) {}; +\node[ele,label=left:$d$] (a4) at (0,0) {}; + +\node[ele,label=right:$1$] (b1) at (2,3) {}; +\node[ele,fill=red,label=right:$2$] (b2) at (2,2) {}; +\node[ele,label=right:$3$] (b3) at (2,1) {}; +\node[ele,fill=red,label=right:$4$] (b4) at (2,0) {}; + +\node[draw,fit= (a1) (a2) (a3) (a4),minimum width=1.4cm] {} ; +\node[draw,fit= (b1) (b2) (b3) (b4),minimum width=1.4cm] {} ; +\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a1) -- (b1); +\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a2) -- (b3); +\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a3) -- (b4); +\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a4) -- (b4); + +\node at (1,-1) {nicht bijektiv}; +\end{tikzpicture}\end{center} + +## Komposition + +Mit den Abbildungen $f: M \to N$ und $g: N \to P$, ist $$g \circ f: M \to P,\ x \mapsto g(f(x))$$ die **Komposition** oder **Verkettung** von $f$ und $g$. Beispiel: + +\begin{center}\begin{tikzpicture}[ele/.style={fill=black,circle,minimum width=.8pt,inner sep=1pt},every fit/.style={ellipse,draw,inner sep=-2pt}] +\node[ele,label=left:$a$] (a1) at (0,3) {}; +\node[ele,label=left:$b$] (a2) at (0,2) {}; +\node[ele,label=left:$c$] (a3) at (0,1) {}; + +\node[ele,label=right:$1$] (b1) at (2,3) {}; +\node[ele,label=right:$2$] (b2) at (2,2) {}; +\node[ele,label=right:$3$] (b3) at (2,1) {}; + +\node[ele,label=right:$\alpha$] (c1) at (4,3) {}; +\node[ele,label=right:$\beta$] (c2) at (4,2) {}; +\node[ele,label=right:$\gamma$] (c3) at (4,1) {}; + +\node[draw,fit= (a1) (a2) (a3),minimum width=1.4cm] {} ; +\node[draw,fit= (b1) (b2) (b3),minimum width=1.4cm] {} ; +\node[draw,fit= (c1) (c2) (c3),minimum width=1.4cm] {} ; +\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a1) -- (b1); +\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (b1) ++(13pt,0) -- (c2); +\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a2) -- (b1); +\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a3) -- (b2); +\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (b2) ++(18pt,0) -- (c1); +\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (b3) ++(12pt,0) -- (c3); + +\node at (1,0) {$f: M \to N$}; +\node at (3,0) {$g: N \to P$}; + +\draw[->,thick] (2,-1) -- (2, -2); +\end{tikzpicture}\end{center} + +\begin{center}\begin{tikzpicture}[ele/.style={fill=black,circle,minimum width=.8pt,inner sep=1pt},every fit/.style={ellipse,draw,inner sep=-2pt}] +\node[ele,label=left:$a$] (a1) at (0,3) {}; +\node[ele,label=left:$b$] (a2) at (0,2) {}; +\node[ele,label=left:$c$] (a3) at (0,1) {}; + +\node[ele,label=right:$\alpha$] (c1) at (4,3) {}; +\node[ele,label=right:$\beta$] (c2) at (4,2) {}; +\node[ele,label=right:$\gamma$] (c3) at (4,1) {}; + +\node[draw,fit= (a1) (a2) (a3),minimum width=1.4cm] {} ; +\node[draw,fit= (c1) (c2) (c3),minimum width=1.4cm] {} ; +\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a1) -- (c2); +\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a2) -- (c2); +\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a3) -- (c1); + +\node at (2,0) {$g \circ f: M \to P$}; +\end{tikzpicture}\end{center} + +### Assoziativität + +Mit den Abbildungen $f: M \to N$, $g: N \to P$ und $h: P \to Q$ gilt: $$(h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f),$$ weshalb man auch kurz $h \circ g \circ f$ schreibt. + +### Eindeutigkeiten unter Komposition + +Mit den Abbildungen $f: M \to N$ und $g: N \to P$ gilt: + +- Sind $f$ und $g$ injektiv, so ist $g \circ f$ injektiv. +- Sind $f$ und $g$ surjektiv, so ist $g \circ f$ surjektiv. +- Sind $f$ und $g$ bijektiv, so ist $g \circ f$ bijektiv. + +# Vollständige Induktion + +--- + +Sei $\mathcal{A}(n)$ eine Aussageform mit zulässigen Werten $n\in\N$. Falls $\mathcal{A}(0)$ wahr ist und $\mathcal{A}(n) \implies \mathcal{A}(n+1)$ wahr ist, so ist $\mathcal{A}(n)$ wahr für alle $n\in\N$. + +--- + +- \enquote{$\mathcal{A}(0)$ wahr} nennt man den _Induktionsanfang_ +- \enquote{$\mathcal{A}(n)$ wird als wahr vorausgesetzt} nennt man die _Induktionsvoraussetzung_ +- \enquote{$\mathcal{A}(n) \implies \mathcal{A}(n + 1)$} nennt man den _Induktionsschluss_ + +# Mächtigkeit von Mengen + +--- + +- Eine Menge $M$ ist **endlich**, wenn sie nur endlich viele Elemente enthält. In diesem Fall bezeichnet man mit $\#M = |M|$ die Anzahl an Elementen in $M$ und nennt die Zahl die **Mächtigkeit** von $M$. Enthält $M$ unendlich viele ELemente, so nennt man $M$ **unendlich** und setzt $\#M = |M| = \infty$. +- Zwei Mengen $M$ und $N$ heißen **gleichmächtig**, wenn es eine bijektive Abbildung $f: M \to N$ gibt. +- Eine Menge heißt **abzählbar unendlich**, wenn sie gleichmächtig zu $\N$ ist. +- Eine Menge heißt **überabzählbar**, wenn sie weder endlich noch abzählbar unendlich ist. +- Für $m,n\in\Z$ bezeichnet man mit $$\{ m,...,n \} = \{ k\in\Z\ \vert\ m \leq k \leq n \}$$ die Menge der ganzen Zahlen zwischen $m$ und $n$. + +--- + +## Eigenschaften endlicher Mengen + +- Ist eine Menge endlich und enthält genau $n$ Elemente, so kann man die Elemente in $M$ mit $x_1,x_2,x_3,...,x_n$ abzählen und man erhält eine bijektive Abbildung $$f: \{ 1,...,n \} \to M: i \mapsto x_i.$$ Umgekehrt erlaubt eine solche Abbildung, die Elemente von $M$ abzuzählen und man erhält $|M| = n$. Damit sieht man, dass eine Menge genau dann endlich von Mächtigkeit $n$ ist, wenn es eine Bijektion von $\{ 1,...n \}$ nach $M$ gibt. +- Ist die Menge $M$ endlich und $A \subset M$, so ist auch $A$ endlich und $|A| \leq |M|$. +- Ist $M = A \cupdot B$ eine endliche Menge, so gilt $|M| = |A| + |B|$. + +**Zusammenhang zwischen Mächtigkeit und Abbildung**: + +Mit den nicht-leeren endlichen Mengen $M$ und $N$ gilt: + +- $|M| \leq |N| \iff$ eine injektive Abbildung $f: M \to N$ existiert +- $|M| \geq |N| \iff$ eine surjektive Abbildung $f: M \to N$ existiert +- $|M| = |N| \iff$ eine bijektive Abbildung $f: M \to N$ existiert + +## Schubfachprinzip + +Aus dem Zusammenhang zwischen Mächtigkeit und Abbildung folgt $$f: M \to N \text{ ist eine Abbildung und } |M| > |N| \implies f \text{ ist nicht injektiv}.$$ Diese Kontraposition nennt man auch das **Schubfachprinzip**. Umgangssprachlich heißt das: Wenn man $m > n$ Gegenstände auf $n$ Schubfächer verteilen möchte, dann muss man in mindestens ein Schubfach zwei legen. + +Beispiel des Versuchs einer Konstruktion einer injektiven Abbildung trotz $|M| > |N|$ mit $M = \{ 1,2,3,4 \}$ und $N = \{ a,b,c \}$: + +\begin{center}\begin{tikzpicture}[ele/.style={fill=black,circle,minimum width=.8pt,inner sep=1pt},every fit/.style={ellipse,draw,inner sep=-2pt}] +\node[ele,label=left:$1$] (a1) at (0,3) {}; +\node[ele,label=left:$2$] (a2) at (0,2) {}; +\node[ele,label=left:$3$] (a3) at (0,1) {}; +\node[ele,fill=red,label=left:$4$] (a4) at (0,0) {}; + +\node[ele,label=right:$a$] (b1) at (2,3) {}; +\node[ele,label=right:$b$] (b2) at (2,2) {}; +\node[ele,label=right:$c$] (b3) at (2,1) {}; + +\node[draw,fit= (a1) (a2) (a3) (a4),minimum width=1.4cm] {} ; +\node[draw,fit= (b1) (b2) (b3),minimum width=1.4cm] {} ; +\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a1) -- (b1); +\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a2) -- (b2); +\draw[->,thick,shorten <=2pt,shorten >=2] (a3) -- (b3); + +\node at (1,-1) {Injektivität nicht möglich}; +\end{tikzpicture}\end{center} + +## Abzählbarkeit von Zahlenbereichen + +- Die Menge $\Q$ der rationalen Zahlen ist abzählbar unendlich, da man mithilfe des Cantorschen Diagonalverfahrens eine bijektive Abbildung von $\N$ nach $\Q$ konstruieren kann: + +\begin{center}\begin{tikzpicture}[node distance=1cm, arrow/.style={thick,-stealth}] +\node (a0) at (-1,5) {$0$}; +\node (a1) at (0,5) {$1$}; +\node (a2) at (1,5) {$\frac{1}{2}$}; +\node (a3) at (2,5) {$\frac{1}{3}$}; +\node (a4) at (3,5) {$\frac{1}{4}$}; +\node (a5) at (4,5) {$\frac{1}{5}$}; +\node (a6) at (5,5) {...}; + +\node (b1) at (0,4) {$-1$}; +\node (b2) at (1,4) {$-\frac{1}{2}$}; +\node (b3) at (2,4) {$-\frac{1}{3}$}; +\node (b4) at (3,4) {$-\frac{1}{4}$}; +\node (b5) at (4,4) {$-\frac{1}{5}$}; +\node (b6) at (5,4) {...}; + +\node (c1) at (0,3) {$2$}; +\node (c2) at (1,3) {$\frac{2}{2}$}; +\node (c3) at (2,3) {$\frac{2}{3}$}; +\node (c4) at (3,3) {$\frac{2}{4}$}; +\node (c5) at (4,3) {$\frac{2}{5}$}; +\node (c6) at (5,3) {...}; + +\node (d1) at (0,2) {$-2$}; +\node (d2) at (1,2) {$-\frac{2}{2}$}; +\node (d3) at (2,2) {$-\frac{2}{3}$}; +\node (d4) at (3,2) {$-\frac{2}{4}$}; +\node (d5) at (4,2) {$-\frac{2}{5}$}; +\node (d6) at (5,2) {...}; + +\node (e1) at (0,1) {$\vdots$}; +\node (e2) at (1,1) {$\vdots$}; +\node (e3) at (2,1) {$\vdots$}; +\node (e4) at (3,1) {$\vdots$}; +\node (e5) at (4,1) {$\vdots$}; + +\draw [arrow] (a0) -- (a1); +\draw [arrow] (a1) -- (b1); +\draw [arrow] (b1) -- (a2); +\draw [arrow] (a2) -- (a3); +\draw [arrow] (a3) -- (b2); +\draw [arrow] (b2) -- (c1); +\draw [arrow] (c1) -- (d1); +\draw [arrow] (d1) -- (c2); +\draw [arrow] (c2) -- (b3); +\draw [arrow] (b3) -- (a4); +\draw [arrow] (a4) -- (a5); +\draw [arrow] (a5) -- (b4); +\draw [arrow] (b4) -- (c3); +\draw [arrow] (c3) -- (d2); + +\end{tikzpicture}\end{center} + +- Die Menge $\R$ der reelen Zahlen ist überabzählbar. + +# Äquivalenzrelationen + +--- + +Mit den Mengen $M$ und $N$, ist jede Teilmenge $R \subset M \times N$ eine **Relation** zwischen $M$ und $N$. Für $x \in M$ und $y \in N$ schreibt man auch $xRy$ statt $(x,y) \in R$, wenn $x$ in Relation zu $y$ bezüglich $R$ steht. + +--- + +Für die Äquivalenzrelation $R$ auf die Menge $M$ gilt die Notation: $$x \sim y \iff (x,y) \in R.$$ + +## Axiome + +1. _Reflexivität_: $x \sim x$ +1. _Symmetrie_: $x \sim y \implies y \sim x$ +1. _Transitivität_: $x \sim y \land y \sim z \implies x \sim z$ + +Beispiel einer abstrakten Alltagssituation: In einer Schule werden SchülerInnen klassisch in Schulklassen unterteilt. Übertragen sind die Axiome dann für die Schüler Alfred, Ben und Christoph: + +1. Alfred gehört zu einer Schulklasse. +1. Wenn Alfred in derselben Schulklasse ist wie Ben, dann ist Ben auch in derselben Schulklasse wie Alfred. +1. Wenn Alfred in derselben Schulklasse ist wie Ben und wenn zugleich Ben in derselben Schulklasse ist wie Christoph, dann ist auch Alfred in derselben Schulklasse wie Christoph. + +In diesem Fall ist dann die Relation \enquote{SchülerIn $x$ ist in derselben Schulklasse wie SchülerIn $y$} die _Äquivalenzrelation_, die SchülerInnen derselben Schulklasse _äquivalent_ und die Schulklassen die _Äquivalenzklassen_. + +\begin{center}\begin{tikzpicture}[x=0.75pt,y=0.75pt,yscale=-1,xscale=1] +% Generated using mathcha.io +\draw [fill={rgb, 255:red, 216; green, 216; blue, 216 } ,fill opacity=0.38 ] (10.08,222.25) .. controls (10.08,106.27) and (152.23,12.25) .. (327.58,12.25) .. controls (502.93,12.25) and (645.08,106.27) .. (645.08,222.25) .. controls (645.08,338.23) and (502.93,432.25) .. (327.58,432.25) .. controls (152.23,432.25) and (10.08,338.23) .. (10.08,222.25) -- cycle ; +\draw [color={rgb, 255:red, 255; green, 0; blue, 0 } ,draw opacity=1 ][fill={rgb, 255:red, 255; green, 0; blue, 0 } ,fill opacity=0.07 ] (45,224.63) .. controls (45,156.9) and (106.8,102) .. (183.04,102) .. controls (259.28,102) and (321.08,156.9) .. (321.08,224.63) .. controls (321.08,292.35) and (259.28,347.25) .. (183.04,347.25) .. controls (106.8,347.25) and (45,292.35) .. (45,224.63) -- cycle ; +\draw [color={rgb, 255:red, 0; green, 56; blue, 255 } ,draw opacity=1 ][fill={rgb, 255:red, 0; green, 36; blue, 255 } ,fill opacity=0.09 ] (294,112.13) .. controls (294,66.77) and (334.54,30) .. (384.54,30) .. controls (434.55,30) and (475.08,66.77) .. (475.08,112.13) .. controls (475.08,157.48) and (434.55,194.25) .. (384.54,194.25) .. controls (334.54,194.25) and (294,157.48) .. (294,112.13) -- cycle ; +\draw [color={rgb, 255:red, 0; green, 255; blue, 18 } ,draw opacity=1 ][fill={rgb, 255:red, 0; green, 255; blue, 64 } ,fill opacity=0.15 ] (319,292.13) .. controls (319,238.48) and (380.8,195) .. (457.04,195) .. controls (533.28,195) and (595.08,238.48) .. (595.08,292.13) .. controls (595.08,345.77) and (533.28,389.25) .. (457.04,389.25) .. controls (380.8,389.25) and (319,345.77) .. (319,292.13) -- cycle ; +\draw [fill={rgb, 255:red, 255; green, 0; blue, 0 } ,fill opacity=1 ] (132.45,169.89) -- (152.06,172.25) -- (149.92,191.88) -- (145.56,186.38) -- (123.81,203.66) -- (128.18,209.15) -- (108.57,206.8) -- (110.71,187.17) -- (115.08,192.66) -- (136.82,175.39) -- cycle ; +\draw [fill={rgb, 255:red, 255; green, 0; blue, 0 } ,fill opacity=1 ] (171.25,236.85) -- (182.75,256.14) -- (161.41,263.16) -- (163.87,256.58) -- (131.04,244.31) -- (128.58,250.88) -- (117.08,231.59) -- (138.41,224.58) -- (135.95,231.15) -- (168.79,243.43) -- cycle ; +\draw [fill={rgb, 255:red, 255; green, 0; blue, 0 } ,fill opacity=1 ] (225.02,221) -- (219.54,243.94) -- (199.19,232.02) -- (205.65,229.26) -- (190.78,194.41) -- (184.32,197.16) -- (189.8,174.23) -- (210.15,186.14) -- (203.69,188.9) -- (218.56,223.75) -- cycle ; +\draw [fill={rgb, 255:red, 255; green, 0; blue, 0 } ,fill opacity=1 ] (141.42,125.91) .. controls (144.77,122.76) and (157.93,131.32) .. (170.82,145.04) -- (164.76,150.74) .. controls (151.87,137.03) and (138.7,128.46) .. (135.35,131.61) ;\draw [fill={rgb, 255:red, 255; green, 0; blue, 0 } ,fill opacity=1 ] (135.35,131.61) .. controls (132.69,134.11) and (137.01,143.23) .. (145.35,153.75) -- (143.33,155.65) -- (155.66,159.29) -- (153.44,146.15) -- (151.42,148.05) .. controls (143.08,137.53) and (138.76,128.4) .. (141.42,125.91)(135.35,131.61) -- (141.42,125.91) ; +\draw [fill={rgb, 255:red, 255; green, 0; blue, 0 } ,fill opacity=1 ] (280,228.97) .. controls (283.26,232.22) and (275.13,245.66) .. (261.84,258.99) -- (255.94,253.11) .. controls (269.23,239.78) and (277.36,226.34) .. (274.11,223.09) ;\draw [fill={rgb, 255:red, 255; green, 0; blue, 0 } ,fill opacity=1 ] (274.11,223.09) .. controls (271.52,220.52) and (262.54,225.14) .. (252.3,233.82) -- (250.34,231.86) -- (247.1,244.3) -- (260.17,241.65) -- (258.2,239.69) .. controls (268.44,231.01) and (277.42,226.4) .. (280,228.97)(274.11,223.09) -- (280,228.97) ; +\draw [fill={rgb, 255:red, 255; green, 0; blue, 0 } ,fill opacity=1 ] (71.28,251.71) .. controls (67.32,249.24) and (69.89,233.12) .. (77.02,215.69) -- (84.19,220.16) .. controls (77.06,237.58) and (74.49,253.71) .. (78.45,256.17) ;\draw [fill={rgb, 255:red, 255; green, 0; blue, 0 } ,fill opacity=1 ] (78.45,256.17) .. controls (81.59,258.13) and (87.9,250.9) .. (93.93,239.12) -- (96.32,240.61) -- (94.94,226.86) -- (84.38,233.17) -- (86.76,234.66) .. controls (80.73,246.43) and (74.42,253.66) .. (71.28,251.71)(78.45,256.17) -- (71.28,251.71) ; +\draw [fill={rgb, 255:red, 0; green, 255; blue, 91 } ,fill opacity=1 ] (417.45,243.89) -- (437.06,246.25) -- (434.92,265.88) -- (430.56,260.38) -- (408.81,277.66) -- (413.18,283.15) -- (393.57,280.8) -- (395.71,261.17) -- (400.08,266.66) -- (421.82,249.39) -- cycle ; +\draw [fill={rgb, 255:red, 0; green, 255; blue, 91 } ,fill opacity=1 ] (458.25,313.85) -- (469.75,333.14) -- (448.41,340.16) -- (450.87,333.58) -- (418.04,321.31) -- (415.58,327.88) -- (404.08,308.59) -- (425.41,301.58) -- (422.95,308.15) -- (455.79,320.43) -- cycle ; +\draw [fill={rgb, 255:red, 0; green, 255; blue, 91 } ,fill opacity=1 ] (513.48,300.42) -- (508.49,324.5) -- (487.65,311.44) -- (494.11,308.69) -- (478.26,271.55) -- (471.81,274.31) -- (476.8,250.23) -- (497.64,263.28) -- (491.18,266.04) -- (507.03,303.18) -- cycle ; +\draw [fill={rgb, 255:red, 0; green, 255; blue, 91 } ,fill opacity=1 ] (428.42,203.91) .. controls (431.77,200.76) and (444.93,209.32) .. (457.82,223.04) -- (451.76,228.74) .. controls (438.87,215.03) and (425.7,206.46) .. (422.35,209.61) ;\draw [fill={rgb, 255:red, 0; green, 255; blue, 91 } ,fill opacity=1 ] (422.35,209.61) .. controls (419.69,212.11) and (424.01,221.23) .. (432.35,231.75) -- (430.33,233.65) -- (442.66,237.29) -- (440.44,224.15) -- (438.42,226.05) .. controls (430.08,215.53) and (425.76,206.4) .. (428.42,203.91)(422.35,209.61) -- (428.42,203.91) ; +\draw [fill={rgb, 255:red, 0; green, 255; blue, 91 } ,fill opacity=1 ] (558,304.97) .. controls (561.26,308.22) and (553.13,321.66) .. (539.84,334.99) -- (533.94,329.11) .. controls (547.23,315.78) and (555.36,302.34) .. (552.11,299.09) ;\draw [fill={rgb, 255:red, 0; green, 255; blue, 91 } ,fill opacity=1 ] (552.11,299.09) .. controls (549.52,296.52) and (540.54,301.14) .. (530.3,309.82) -- (528.34,307.86) -- (525.1,320.3) -- (538.17,317.65) -- (536.2,315.69) .. controls (546.44,307.01) and (555.42,302.4) .. (558,304.97)(552.11,299.09) -- (558,304.97) ; +\draw [fill={rgb, 255:red, 0; green, 255; blue, 91 } ,fill opacity=1 ] (357.28,329.71) .. controls (353.32,327.24) and (355.89,311.12) .. (363.02,293.69) -- (370.19,298.16) .. controls (363.06,315.58) and (360.49,331.71) .. (364.45,334.17) ;\draw [fill={rgb, 255:red, 0; green, 255; blue, 91 } ,fill opacity=1 ] (364.45,334.17) .. controls (367.59,336.13) and (373.9,328.9) .. (379.93,317.12) -- (382.32,318.61) -- (380.94,304.86) -- (370.38,311.17) -- (372.76,312.66) .. controls (366.73,324.43) and (360.42,331.66) .. (357.28,329.71)(364.45,334.17) -- (357.28,329.71) ; +\draw [fill={rgb, 255:red, 0; green, 19; blue, 255 } ,fill opacity=1 ] (347.56,81.47) .. controls (351.45,77.84) and (365.02,86.04) .. (377.87,99.8) -- (370.81,106.39) .. controls (357.97,92.63) and (344.4,84.42) .. (340.5,88.06) ;\draw [fill={rgb, 255:red, 0; green, 19; blue, 255 } ,fill opacity=1 ] (340.5,88.06) .. controls (337.55,90.82) and (341,99.59) .. (348.44,109.67) -- (346.09,111.86) -- (360.23,116.27) -- (357.85,100.89) -- (355.5,103.08) .. controls (348.06,93) and (344.6,84.23) .. (347.56,81.47)(340.5,88.06) -- (347.56,81.47) ; + +\draw (153,153) node [anchor=north west][inner sep=0.75pt] [align=left] {Alfred}; +\draw (84,207) node [anchor=north west][inner sep=0.75pt] [align=left] {Ben}; +\draw (187,245) node [anchor=north west][inner sep=0.75pt] [align=left] {Christoph}; +\draw (440,230) node [anchor=north west][inner sep=0.75pt] [align=left] {Anne}; +\draw (371,284) node [anchor=north west][inner sep=0.75pt] [align=left] {Freddi}; +\draw (474,322) node [anchor=north west][inner sep=0.75pt] [align=left] {Dominik}; +\draw (360,105) node [anchor=north west][inner sep=0.75pt] [align=left] {Phillip}; +\draw (150,52) node [anchor=north west][inner sep=0.75pt] [align=left] {\textbf{\underline{Alle SchülerInnen}}}; +\draw (232,158) node [anchor=north west][inner sep=0.75pt] [font=\normalsize,color={rgb, 255:red, 0; green, 0; blue, 0 } ,opacity=1 ] [align=left] {\textbf{\underline{Klasse 1}}}; +\draw (350,40) node [anchor=north west][inner sep=0.75pt] [align=left] {\textbf{\underline{Klasse 2}}}; +\draw (511.17,240) node [anchor=north west][inner sep=0.75pt] [align=left] {\textbf{\underline{Klasse 3}}}; +\end{tikzpicture}\end{center} + +## Äquivalenzklassen + +Mit der Menge $M$ und der Äquivalenzrelation $\sim$ auf $M$, heißt für $x \in M$ die Menge $$[x] = \{ y \in M\ \vert\ y \sim x \}$$ die **Äquivalenzklasse** von $x$. Jedes $y \in [x]$ heißt ein **Repräsentant** der Klasse $[x]$. + +Mit dem vorigen Beispiel gilt: $$[\text{Alfred}] = \{ \text{Alfred, Ben, Christoph} \}.$$ + +--- + +Mit $$M/{\sim} = \{ [x]\ \vert\ x \in M \}$$ bezeichnet man die Menge der **Äquivalenzklassen modulo der Äquivalenzrelation** $\sim$. + +Mit dem vorigen Beispiel gilt: $$M/{\sim} = \{ [\text{Alfred}], [\text{Ben}], [\text{Christoph}], [\text{Philipp}], [\text{Anne}], [\text{Dominik}], [\text{Freddi}] \}.$$ + +## Disjunkte Zerlegung + +Ist $(M_i)_{i \in I}$ eine disjunkte Zerlegung der Menge $M$ und die Relation auf $M$ $$x \sim y \iff \exists i \in I : x,y \in M_i,$$ dann ist $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf $M$. + +--- + +Ist $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf der Menge $M$, dann bilden die Äquivalenzklassen eine disjunkte Zerlegung von $M$, d.h. jedes $x \in M$ liegt in genau einer Äquivalenzklasse. Insbesondere gilt für Äquivalenzklassen $[x]$ und $[y]$ entweder $[x] = [y]$ oder $[x] \cap [y] = \emptyset$. + +--- + +Voriges Beispiel der Schulklassen ist hilfreich um zu sehen, dass kein Repräsentant in zwei Äquivalenzklassen gleichzeitig sein kann und damit eine disjunkte Zerlegung der SchülerInnen vorliegen muss. + +## Kongruenz modulo $n$ + +Mit $n\in\Z_{>0}$ und $a,b\in\Z$ wird die Äquivalenzrelation $\equiv$ definiert: $$a \equiv b \pmod{n} \iff n\ \vert\ a - b$$ +Das heißt, die Reste der ganzzahligen Division von $a$ mit $n$, sowie von $b$ mit $n$, müssen gleich sein. Zwei äquivalente Zahlen $a$ und $b$ werden dann auch **kongruent modulo $n$** genannt. + +--- + +Beispiel mit $5 \equiv 11 \pmod{3}$: + +Die Aussage ist wahr, da $\frac{5}{3} = 1 \text{ Rest } 2$ und $\frac{11}{3} = 3 \text{ Rest } 2$ die gleichen Reste besitzen bzw. auch $3\ \vert\ (11 - 5) = 3\ \vert\ 6$ wahr ist. + +--- + +TODO: Beispiele (ggf. S.55?) + +Man bezeichnet die Äquivalenzklasse von $a\in\Z$ mit $$[a] = \{ b\in\Z\ \vert\ a \equiv b \pmod{n} \}$$ +Die Menge der Äquivalenzklassen ist $$\Z/n\Z = \{ [a]\ \vert\ a\in\Z \}$$ und es gilt $|\Z/n\Z| = n$. + +# Gruppen + +--- + +Eine **Gruppe** ist ein Paar $(G,*)$ bestehend aus einer _nicht-leeren_ Menge $G$ und einer zweistelligen Operation \enquote{$*$}, d.h. einer Abbildung $$*: G \times G \to G: (g,h) \mapsto g * h,$$ sodass folgende _Gruppenaxiome_ gelten: + +1. _Assoziativgesetz_: $(g * h) * k = g * (h * k)\ \forall g,h,k \in G$ +2. _Existenz eines Neutralen_: $\exists e \in G: \forall g \in G: e * g = g$ +3. _Existenz von Inversen_: $\forall g \in G: \exists g^{-1} \in G: g^{-1} * g = e$ + +Eine Gruppe $(G,*)$ heißt **abelsch** oder **kummutativ**, wenn $(G,*)$ zudem noch dem folgenden Axiom genügt: + +4. _Kommutativgesetz_: $g * h = h * g\ \forall g,h \in G$ + +--- + +## Eigenschaften + +- Aufgrund der Axiome erhält man folgende Eigenschaften für eine Gruppe $(G,*)$: + + - Das neutrale Element $e \in G$ ist eindeutig bestimmt und hat die Eigenschaft $$e * g = g * e = g\ \forall g \in G$$ + - Mit $g \in G$ ist das inverse Element $g^{-1}$ zu $g$ eindeutig bestimmt und hat die Eigenschaft $$g^{-1} * g = g * g^{-1} = e$$ + - Für $g,h \in G$ gelten $(g^{-1})^{-1} = g$ und $(g * h)^{-1} = h^{-1} * g^{-1}$ + +- Häufig wird \enquote{$*$} die _Gruppenmultiplikation_ genannt. + +- Ist $(G,*)$ eine Gruppe mit endlich vielen Elementen $n\in\N$, so bezeichnet man mit $\#G = |G| = n$ die **Ordnung** der Gruppe. + +## Kürzungsregeln + +Für die Gruppe $(G,*)$ gilt mit $g,a,b \in G$: + +- $g * a = g * b \implies a = b$ +- $a * g = b * g \implies a = b$ + +## Multiplikative Gruppe + +Wird die Gruppenoperation als Multiplikation und mit \enquote{$\cdot$} bezeichnet, so schreibt man + +- für das Neutrale Element $1_G$ bzw. 1 +- für das Inverse zu $g$ $g^{-1}$ oder $\frac{1}{g}$ +- häufig das Multiplikationszeichen nicht, wenn die Bedeutung klar ersichtlich ist (z.B. $gh$ statt $g \cdot h$) +- für das Produkt von $g1,...,g_n \in G$ $$\prod_{i=1}^n g_i = g_1 \cdot g_2 \cdot ... \cdot g_n$$ + +Außerdem gelten normale multiplikative Potenzgesetze. Allerdings gilt $$(g \cdot h)^n = g^n \cdot h^n$$ **nicht** in nicht-abelschen Gruppen, da z.B. mit $n = 4$ Kommutativität notwendig ist: +\begin{displaymath} +\begin{split} +(g \cdot h)^n &= g^n \cdot h^n \\ +\implies (g \cdot h)^4 &= g^4 \cdot h^4 \\ +\implies (g \cdot h) \cdot (g \cdot h) \cdot (g \cdot h) \cdot (g \cdot h) &= (g \cdot g \cdot g \cdot g) \cdot (h \cdot h \cdot h \cdot h) \\ +\implies g \cdot h \cdot g \cdot h \cdot g \cdot h \cdot g \cdot h &= g \cdot g \cdot g \cdot g \cdot h \cdot h \cdot h \cdot h +\end{split} +\end{displaymath} + +## Additive Gruppe + +Wird die Gruppenoperation als Addition und mit \enquote{$+$} bezeichnet, so schreibt man + +- für das Neutrale Element meist $0_G$ bzw. 0 +- für das Inverse zu $g$ meist $-g$ und meist $g - h$ statt $g + (-h)$ +- für die Summe von $g1,...,g_n \in G$ $$\sum_{i=1}^n g_i = g_1 + g_2 + ... + g_n$$ + +Außerdem gelten normale additive Rechenregeln. Insbesondere muss man bei Rechnungen aufpassen, die je nach Variablen unterschiedliche Operationen mit gleichem Symbol nutzen. Beispiel mit $g,h \in G$ und $m,n \in \Z$: + +- $\underbrace{(m + n)}_{\text{Add. in } \Z}g = \underbrace{mg + ng}_{\text{Add. in } G}$ +- $n \cdot \underbrace{(m + n)}_{\text{Add. in } G} = \underbrace{ng + nh}_{\text{Add. in } G}$ +- $0_\Z \cdot g = 0_G$ +- $n \cdot 0_G = 0_G$ + +# Körper + +--- + +Ein **Körper** ist ein Tripel $(K,+,\cdot)$ bestehend aus einer Menge $K$ zusammen mit zwei zweistelligen Operationen +$$+: K \times K \to K: (x,y) \mapsto x + y, \quad (\textit{\enquote{Addition}})$$ +und +$$\cdot: K \times K \to K: (x,y) \mapsto x \cdot y, \quad (\textit{\enquote{Multiplikation}})$$ +sodass folgende Axiome erfüllt sind: + +1. $(K,+)$ ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element $0$. +2. $(K \setminus \{ 0 \}, \cdot)$ ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element $1$. +3. _Distributivgesetz_: $x \cdot (y + z) = x \cdot y + x \cdot z$ für $x,y,z \in K$. + +Ist eine Teilmenge $L \subset K$ eines Körpers mit den _gleichen_ Operationen wieder selbst ein Körper, so nennen wir $L$ einen **Teilkörper** von $K$. + +--- + +Beispiele: + +- Die rationalen Zahlen $(\Q,+,\cdot)$ und die reelen Zahlen $(\R,+,\cdot)$ mit der üblichen Addition und Multiplikation sind Körper. $\Q$ ist ein Teilkörper von $\R$. +- Die ganzen Zahlen $(\Z,+,\cdot)$ sind kein Körper, da z.B. der Zahl $2$ ein multiplikatives Inverses fehlt (weil nur $2 \cdot \frac{1}{2} = e = 1$). +- Der kleinstmögliche und zudem endliche Körper ist $\mathbb{F}_2 = \{ 0,1 \}$ und wird durch folgende Additions- und Multiplikationstafeln definiert: + +\begin{center}\begin{tabular}{ c || c | c } +$+$ & $0$ & $1$ \\ \hline\hline +$0$ & $0$ & $1$ \\ \hline +$1$ & $1$ & $0$ +\end{tabular} +\quad +\begin{tabular}{ c || c | c } +$\cdot$ & $0$ & $1$ \\ \hline\hline +$0$ & $0$ & $0$ \\ \hline +$1$ & $0$ & $1$ +\end{tabular}\end{center} + +## Rechenregeln + +Mit Körper $K$, $x,y,z \in K$ und $u,v \in K \setminus \{ 0 \}$ gilt: + +- $-(-x) = x$ +- $x + y = z \iff x = z - y$ +- $-(x + y) = -x -y$ +- $0 \cdot x = x \cdot 0 = 0$ +- $(-x) \cdot y = x \cdot (-y) = -(x \cdot y)$ +- $(-x) \cdot (-y) = x \cdot y$ +- $x \cdot (y - z) = x \cdot y - x \cdot z$ +- $(x^{-1})^{-1} = x, \text{ für } x \neq 0$ +- $x \cdot y = 0 \iff x = y \text{ oder } y = 0$ +- $z \cdot x = z \cdot y,\ z \neq 0 \implies x = y$ +- $\frac{x}{u} \cdot \frac{y}{v} = \frac{x \cdot y}{u \cdot v}$ +- $\frac{x}{u} + \frac{y}{v} = \frac{x \cdot v + y \cdot u}{u \cdot v}$ + +# Produkte und Summen + +TODO: Später? + +# Ordnungsrelationen + +--- + +Eine **Ordnungsrelation** (auch _Halbordnung_ oder _partielle Ordnung_) auf die Menge $M$ ist eine Relation $R \subset M \times M$, sodass für alle $x,y,z \in M$ mit der Notation +$$x \leq y \iff (x,y) \in R$$ +gilt: + +1. _Reflexivität_: $x \leq x$ +1. _Antisymmetrie_: $x \leq y \land y \leq x \implies x = y$ +1. _Transitivität_: $x \leq y \land y \leq z \implies x \leq z$ + +--- + +## Total- und Wohlordnungen + +Mit der Menge $M$ gilt: + +- Eine Ordnungsrelation \enquote{$\leq$} auf $M$ heißt **Totalordnung** oder **lineare Ordnung**, falls je zwei Elemente aus $M$ vergleichbar sind, d.h. für je zwei Elemente $x,y \in M$ gilt $x \leq y$ oder $y \leq x$. +- Ist \enquote{$\leq$} eine Ordnungsrelation auf $M$, $A \subset M$ und $x \in A$, so heißt x **minimal** (bzw. **maximal** in $A$, falls für alle $y \in A$ mit $y \leq x$ (bzw. $x \leq y$) gilt $x = y$. +- Eine Totalordnung heißt **Wohlordnung**, falls jede nicht-leere Teilmenge von $M$ ein minimales Element besitzt. + +Minima und Maxima einer Menge $M$ bezüglich einer Totalordnung werden mit $\min(M)$ bzw. $\max(M)$ bezeichnet. + +Beispiele: + +- Die natürlichen Zahlen $(\N,\leq)$ mit der üblichen Kleiner-Gleich-Relation $\leq$ sind wohlgeordnet (**archimedisches Prinzip**). +- Die reelen Zahlen $(\R,\leq)$ mit der üblichen Kleiner-Gleich-Relation $\leq$ sind totalgeordnet, aber nicht wohlgeordnet. +- Die reelen Zahlen $(\Z,\leq)$ mit der üblichen Kleiner-Gleich-Relation $\leq$ sind totalgeordnet, aber nicht wohlgeordnet: + $$... < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < ...$$ Die \enquote{unübliche Anordnung} $$0 < -1 < 1 < -2 < 2 < -3 < 3 < ...$$ ist eine Wohlordnung auf $\Z$. + +## Supremum und Infimum + +Es sei \enquote{$\leq$} eine Totalordnung auf einer Menge $M$ und $\emptyset \neq A \subset M$ eine nicht-leere Teilmenge von $M$. Die Menge $B = \{ 1,2,3 \} \subset \R$ dient hierbei als Beispiel. Dann nennt man + +- $s \in M$ eine **obere Schranke** von $A$, falls $\forall x \in A : s \geq x$. + $$\text{Obere Schranken von } B:\ \{ b\ \vert\ b \geq 3 \}$$ +- $A$ **nach oben beschränkt**, falls $A$ eine obere Schranke besitzt. +- $s \in M$ das **Supremum** von $A$, falls $s$ das Minimum der Menge der oberen Schranken von $A$ ist. Dieses Minimum ist eindeutig bestimmt, wenn es existiert, und wird dann mit $\sup(A)$ bezeichnet. + $$\sup(B) = 3$$ +- $s \in M$ eine **untere Schranke** von $A$, falls $\forall x \in A : s \leq x$. + $$\text{Untere Schranken von } B:\ \{ b\ \vert\ b \leq 1 \}$$ +- $A$ **nach unten beschränkt**, falls $A$ eine untere Schranke besitzt. +- $s \in M$ das **Infimum** von $A$, falls $s$ das Maximum der Menge aller unteren Schranken von $A$ ist. Dieses Maximum ist eindeutig bestimmt, wenn es existiert, und wird dann mit $\inf(A)$ bezeichnet. + $$\inf(B) = 1$$ +- $A$ **beschränkt**, wenn $A$ nach oben _und_ nach unten beschränkt ist. + +**Supremumsaxiom:** + +\begin{center}\fbox{\parbox{12cm}{\centering Jede nicht-leere, nach unten/oben beschränkte Teilmenge von $\R$ besitzt ein Infimum/Supremum in $\R$}}\end{center} + +$\Q$ erfüllt die Eigenschaften des Supremumsaxioms nicht, da beispielsweise $$\{ x \in \Q\ \vert\ x > 0 \land x^2 \leq 2 \}$$ zwar nach oben beschränkt ist, aber kein Supremum in $\Q$ besitzt. + +# Angeordnete Körper + +--- + +Es sei $K$ ein Körper und \enquote{$\leq$} eine Totalordnung auf $K$. Man nennt das Quadrupel $(K,+,\cdot,\leq)$ einen **angeordneten Körper**, wenn die Totalordnung mit der Addition und der Multiplikation verträglich ist, d.h. wenn für alle $x,y,z \in K$ $$x < y \implies x + z < y + z$$ und $$x < y,\ 0 < z \implies x \cdot z < y \cdot z$$ gilt. Ist $x \in K$ und $x > 0$, so nennt man $x$ **positiv**, ist $x < 0$, so nennt man $x$ **negativ**. + +--- + +## Rechenregeln + +Mit dem angeordneten Körper $(K,+,\cdot,\leq)$ und $x,y,u,v \in K$ gilt: + +- $x > 0 \iff -x < 0$. +- Ist $x \neq 0$, so ist $x^2 > 0$. +- $1 > 0$. +- Ist $0 < x < y$, so ist $0 < \frac{1}{y} < \frac{1}{x}$. +- Ist $x < y$ und $u < v$, so ist $x + y < y + v$. +- Ist $0 < x$ und $n\in\N$, so ist $0 < x^n$. +- Ist $0 \leq x,y$ und $n\in\N$ mit $n \geq 1$, so gilt $$x < y \iff x^n < y^n.$$ + +## Charakterisierung des Supremums und Infimums + +Mit dem angeordneten Körper $(K,+,\cdot,\leq)$, $A \subset K$ und $s \in K$ gilt: +$$s = \sup(A) \iff \forall x \in A: x \leq s \text{ und } \forall 0 < \varepsilon \in K: \exists x \in A: s - \varepsilon < x$$ +sowie +$$s = \inf(A) \iff \forall x \in A: x \geq s \text{ und } \forall 0 < \varepsilon \in K: \exists x \in A: s + \varepsilon > x$$ + +Mit den nicht-leeren Teilmengen $A,B \subset \R$ mit $\forall a \in A, b \in B: a \leq b$ gilt $$\sup(A) \leq \inf(B).$$ + +# Eigenschaften der reelen Zahlen $\R$ + +- Der Körper $\R$ der reelen Zahlen mit der üblichen Ordnungsrelation ist der einzige angeordnete Körper, in dem jede nicht-leere, nach oben beschränkte Menge ein Supremum besitzt. TODO: Why not $\N$, ..? +- Für $x,y\in\R$ mit $0 < x < y$ gibt es eine natürliche Zahl $n\in\N$, sodass $y < n \cdot x$ (**archimedische Ordnung**) +- Für alle $x\in\R$ gibt es eine ganze Zahl $n$, sodass $n \leq x < n + 1$. +- Für alle $\varepsilon\in\R$ mit $\varepsilon > 0$ gibt es eine natürliche Zahl $n$, sodass $0 < \frac{1}{n} < \varepsilon$. +- $\Q$ liegt dicht in $\R$: Sind $a,b \in \R$ mit $a < b$, so gibt es eine rationale Zahl im Intervall $(a,b)$. +- Mit $x \in \R$, $x \geq -1$ und $n\in\N$ gilt $(1+x)^n \geq 1 + n \cdot x$ (**bernoullische Ungleichung**) +- Existenz von $n$-ten Wurzeln in $\R$: $\forall x\in\R \geq 0,\ n\in\N \geq 2\ \exists! a\in\R \geq 0 : a^n = x$ +- $\sqrt{2}$ ist irrational + +## Intervalle + +Mit $a,b\in\R$ gilt: + +- **Abgeschlossenes Intervall**: $[a,b] = \{ x\in\R\ \vert\ a \leq x \leq b \}$ +- **Offenes Intervall**: $(a,b) = \{ x\in\R\ \vert\ a < x < b \}$ +- **Halboffenes Intervall**: $$[a,b) = \{ x\in\R\ \vert\ a \leq x < b \}$$ $$(a,b] = \{ x\in\R\ \vert\ a < x \leq b \}$$ +- **Uneigentliches Intervall**: + $$[a,\infty) = \{ x\in\R\ \vert\ a \leq x \}$$ + $$(a,\infty) = \{ x\in\R\ \vert\ a < x \}$$ + $$(-\infty,a] = \{ x\in\R\ \vert\ x \leq a \}$$ + $$(-\infty,a) = \{ x\in\R\ \vert\ x < a \}$$ + $$(-\infty,\infty) = \R$$ + +# Der Körper der komplexen Zahlen $\C$ + +--- + +Die Menge $\C = \{ (x,y)\ \vert\ x,y\in\R \}$ zusammen mit der durch +$$(x,y) + (u,v) = (x + u, y + v),\ \text{ für } (x,y),(u,v)\in\C,$$ und +$$(x,y) \cdot (u,v) = (xu - yv, xv + yu),\ \text{ für } (x,y),(u,v)\in\C,$$ +definierte Addition und Multiplikation ist ein Körper, den man den Körper der **komplexen Zahlen** nennt. + +--- + +## Notation + +Mit $x\in\R$ und $x = (x,0)$, sowie mit $i = (0,1)$, gilt für $z = (x,y)\in\C$ $$z = (x,y) = (x,0) + (0,y) = (x,0) + (0,1) \cdot (y,0) = x + iy$$ +Damit gilt dann $$i^2 = (0,1) \cdot (0,1) = -1$$ +Daraus folgt auch die Definition der Multiplikation in dieser Notation: $$(x + iy)(u + iv) = (xu + i^2yv) + i(xv + yu) = (xu - yv) + i(xv + yu)$$ + +Die **Betragsfunktion** wird auf $\C$ definiert durch $$|\cdot| \C \to \R_{\geq 0}: x + iy \mapsto \sqrt{x^2 + y^2}.$$ +Man nennt $|x|$ den **Absolutbetrag** von $x$. + +Die **komplexe Konjugation** wird definiert durch $$\overline{\cdot}: \C \to \C: z = x + iy \mapsto \overline{z} = x - iy.$$ +Für $z\in\C$ heißt $\overline{z}$ die zu $z$ **konjugiert komplexe Zahl**. + +Der **Realteil** wird definiert durch die Abbildung $$\text{Re}: \C \to \R: x + iy \mapsto x.$$ +$\text{Re}(x + iy) = x$ nennt man dann den Realteil von $z$. + +Der **Imaginärteil** wird definiert durch die Abbildung $$\text{Im}: \C \to \R: x + iy \mapsto y.$$ +$\text{Im}(x + iy) = y$ nennt man dann den Imaginärteil von $z$. + +## Eigenschaften + +- $\C$ ist eine Teilmenge von $\R$, da es eine Abbildung $$\iota: \R\to\C: x \mapsto (x,0)$$ gibt. +- Es gibt keine Totalordnung \enquote{$\leq$} auf $\C$, die $\C$ zu einem angeordneten Körper macht (da $0 \nless i^2$). + +## Rechenregeln + +Mit $z,w\in\C$ gilt: + +- Der Betrag ist multiplikativ: $|z| \cdot |w| = |zw|$ +- Der Betrag erfüllt die _Dreiecksungleichung_: $|z + w| \leq |z| + |w|$ und $||z| - |w|| \leq |z - w|$. +- $z = 0 \iff |z| = 0$ +- $z \cdot \overline{z} = |z|^2$. +- Wenn $z \neq 0$, dann ist $z^{-1} = \frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}$. +- Die komplexe Konjugation ist additiv: $\overline{z} + \overline{w} = \overline{z+w}$. +- Die komplexe Konjugation ist multiplikativ: $\overline{z} \cdot \overline{w} = \overline{z \cdot w}$. +- $\overline{\overline{z}} = z$. +- $\text{Re}(z) = \frac{z + \overline{z}}{2} \leq |z|$. +- $\text{Im}(z) = \frac{z - \overline{z}}{2i} \leq |z|$. +- $|z| = |\overline{z}| = |-z|$. + +## Geometrische Deutung + +### Graph von $z$ + +Mit $z = x + yi = 4 + 5i$: + +\begin{center}\begin{tikzpicture} +\begin{axis}[axis lines=center,xmin=-1,xmax=5,ymin=-1,ytick={-1,...,6},ymax=6,minor tick num=1,ticks=both,yticklabels={$-i$, $0$, $i$, $2i$, $3i$, $4i$, $5i$, $6i$}] +\addplot[black,mark=*] coordinates {(4,5)} {}; +\addplot[ultra thick,dashed,red] coordinates { (0,0) (4,0) } node[pos=0.5,above] {$\text{Re}(z)=4$}; +\addplot[,dashed,red] coordinates { (4,0) (4,5) } node[pos=0.5,left] {$\text{Im}(z)=5$}; + +\node [above,red] at (axis cs: 4,5) {$4+5i$}; +\end{axis} +\end{tikzpicture}\end{center} + +### Vektoraddition + +Mit $z = x + yi = 1 + 3i$ und $w = u + vi = 4 + 2i$ und $z + w = 5 + 5i$: + +\begin{center}\begin{tikzpicture} +\begin{axis}[axis lines=center,xmin=-1,xmax=6,ymin=-1,ytick={-1,...,6},ymax=6,minor tick num=1,ticks=both,yticklabels={$-i$, $0$, $i$, $2i$, $3i$, $4i$, $5i$, $6i$}] +\addplot[black,mark=*] coordinates {(1,3)} {}; +\addplot[black,mark=*] coordinates {(5,5)} {}; +\addplot[black,mark=*] coordinates {(4,2)} {}; + +\addplot[red] coordinates { (0,0) (1,3) } node[pos=1,left] {$z$}; +\addplot[red] coordinates { (0,0) (5,5) } node[pos=1,above] {$z+w$}; +\addplot[red] coordinates { (0,0) (4,2) } node[pos=1,right] {$w$}; + +\addplot[dashed,red] coordinates { (1,3) (5,5) }; +\addplot[dashed,red] coordinates { (4,2) (5,5) }; +\end{axis} +\end{tikzpicture}\end{center} + +### Betrag + +Mit $z = x + iy = 4 + 5i$, entspricht der Betrag $|z| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{4^2 + 5^2} \approx 6.4 = r$ der euklidischen Länge des Vektors $z$: + +\begin{center}\begin{tikzpicture} +\begin{axis}[axis lines=center,xmin=-1,xmax=5,ymin=-1,ytick={-1,...,6},ymax=6,minor tick num=1,ticks=both,yticklabels={$-i$, $0$, $i$, $2i$, $3i$, $4i$, $5i$, $6i$}] +\addplot[black,mark=*] coordinates {(4,5)} {}; +\addplot[red] coordinates { (0,0) (4,5) } node[pos=0.5,above] {$r$}; +\addplot[ultra thick,dashed,red] coordinates { (0,0) (4,0) } node[pos=0.5,above] {$\text{Re}(z)=4$}; +\addplot[dashed,red] coordinates { (4,0) (4,5) } node[pos=0.5,left] {$\text{Im}(z)=5$}; + +\node [above,red] at (axis cs: 4,5) {$4+5i$}; +\end{axis} +\end{tikzpicture}\end{center} + +Damit ergibt sich, weshalb $|z| = r = \sqrt{x^2 + y^2}$, da $\text{Re}(z)^2 + \text{Im}(z)^2 = x^2 + y^2 = r^2$ (Satz des Pythagoras). + +Daraus erschließt sich auch die Dreiecksungleichung, da in einem Dreieck die Summe der Seitenlängen von zwei Seiten stets eine obere Schranke für die Seitenlänge der dritten Seite ist. + +### Einheitskreis + +TODO (auch Polarkoordinaten-Zeug und n-te Wurzel) + +# Folgen und ihre Grenzwerte + +\begin{center}\fbox{\parbox{12cm}{\centering Ab hier ist stets $K \in \{ \R,\C \}$}}\end{center} + +--- + +Eine **Folge** in $K$ ist eine Abbildung $$\alpha: \N \to K.$$ Durch ihre Funktionswerte $\alpha_n = \alpha(n)$ mit $n\in\N$ ist diese eindeutig festgelegt. Deshalb schreibt man statt $\alpha: \N \to K$ häufig nur $(a_n)_{n\in\N}$ oder $(a_0,a_1,a_2,...)$. + +--- + +## Konstante Folgen + +Mit $c \in K$ heißt $\alpha: \N \to K : n \mapsto c$ bzw. $a_n = c$ mit $n\in\N$ eine **konstante Folge**. + +Beispiel mit $(a_n)_{n\in\N} = (2)_{n\in\N}$: +\begin{center}\begin{tikzpicture} +\begin{axis}[axis lines=center,xmin=0,ymin=-1,ymax=4,ytick distance=1] +\addplot[black,mark=*] coordinates {(0,2)} {}; +\addplot[black,mark=*] coordinates {(1,2)} {}; +\addplot[black,mark=*] coordinates {(2,2)} {}; +\addplot[black,mark=*] coordinates {(3,2)} {}; +\addplot[black,mark=*] coordinates {(4,2)} {}; +\addplot[black,mark=*] coordinates {(5,2)} {}; +\end{axis} +\end{tikzpicture}\end{center} + +## Konvergenz und Grenzwert + +Mit der Folge $(a_n)_{n\in\N}$ in $K$ und $a \in K$ gilt: +$a$ ist genau dann ein **Grenzwert** von $(a_n)_{n\in\N}$, wenn $$\forall \varepsilon > 0,\ \varepsilon \in \R: \exists n_\varepsilon\in\N: \forall n \geq n_\varepsilon: |a_n - a| < \varepsilon.$$ +In diesem Fall sagt man, dass $(a_n)_{n\in\N}$ **gegen $\alpha$ konvergiert** und schreibt $$\lim_{n\to\infty} a_n = a \text{ oder } a_n \to a.$$ +Wenn es kein $a \in K$ gibt, so dass $(a_n)_{n\in\N}$ gegen $a$ konvergiert, nennt man $(a_n)_{n\in\N}$ **divergent**. + +Falls eine Folge $(a_n)_{n\in\N}$ in $K$ gegen $0$ konvergiert, nennt man $(a_n)_{n\in\N}$ eine **Nullfolge**. + +Hilfreiche Umformung: $$a_n \to a \iff a_n - a \to 0 \iff |a_n - a| \to 0.$$ + +TODO: Vorgehen mit abschätzen usw. (auch bei Cauchy) + +Beispiel: **Epsilon-Schlauch** + +\includesvg{assets/schlauch} + +Mit einem $\varepsilon > 0$ gibt es also einen Mindestindex $n_\varepsilon$, sodass sich ab diesem Index die Folge im Epsilon-Schlauch $(a-\varepsilon,a+\varepsilon)$ befindet. Die Folge ist konvergent, falls dies auch für jedes andere $\varepsilon > 0$ gilt. + +### Geometrische Folge + +Mit $q \in K$ und $|q| < 1$, ist $(q^n)_{n\in\N}$ eine Nullfolge. + +## Beschränkte Folgen + +Eine Folge $(a_n)_{n\in\N}$ in $K$ heißt **beschränkt**, wenn die Menge $$\{ |a_n| \in \R\ \vert\ n\in\N \}$$ beschränkt ist, d.h. wenn es eine Zahl $s\in\R$ gibt, sodass $|a_n| \leq s$ für alle $n\in\N$. + +- Jede konvergente Folge in $K$ ist beschränkt. +- Ist $(a_n)_{n\in\N}$ eine Nullfolge in $K$ und $(b_n)_{n\in\N}$ eine beschränkte Folge in $K$, so ist $(a_n \cdot b_n)_{n\in\N}$ eine Nullfolge. + +## Grenzwertsätze und Konvergenzkriterien + +Mit den konvergenten Folgen $(a_n)_{n\in\N}$ und $(b_n)_{n\in\N}$ in $K$ mit $a_n \to a$ und $b_n \to b$ gilt: + +- $a_n + b_n \to a + b$ und $a_n - b_n \to a - b$ +- $a_n \cdot b_n \to a \cdot b$ +- $|a_n| \to |a|$ +- Wenn $b \neq 0$, so gibt es ein $n_0\in\N$ mit $b_n \neq 0$ für alle $n \geq n_0$ und die Folge $\left(\frac{a_n}{b_n}\right)_{n \geq n_0}$ ist konvergent mit $$\frac{a_n}{b_n} \to \frac{a}{b}.$$ +- Ist $(a_n)_{n\in\N}$ im abgeschlossenen Intervall $[a,b]$, so gilt $\lim_{n\to\infty} a_n \in [a,b]$. + +### Einschachtelungssatz + +Mit den konvergenten Folgen $(a_n)_{n\in\N}$, $(b_n)_{n\in\N}$ und $(c_n)_{n\in\N}$ in $\R$ mit $a_n \to a$ und $b_n \to b$ gilt: + +- Ist $a_n \leq b_n$ für alle $n \geq n_0$, so ist $a \leq b$. +- Ist $a_n \leq c_n \leq b_n$ für alle $n \geq n_0$ und ist a = b, so gilt $c_n \to a$. + +## Monotonie + +$(a_n)_{n\in\N}$ ist eine Folge in $\R$. Man nennt $(a_n)_{n\in\N}$ **monoton wachsend**, falls $$\forall n\in\N: a_n \leq a_{n+1}.$$ +Analog nennt man $(a_n)_{n\in\N}$ **monoton fallend**, falls $$\forall n\in\N: a_n \geq a_{n+1}.$$ + +**Monotoniekriterium**: Jede monoton wachsende oder fallende beschränkte Folge in $\R$ ist konvergent. + +## Supremum und Infimum + +Mit der nicht-leeren Menge $A \subset \R$ gilt: + +- Ist $A$ nach oben beschränkt, so gibt es eine monoton wachsende Folge $(a_n)_{n\in\N}$ in $A$, die gegen $\sup(A)$ konvergiert. +- Ist $A$ nach unten beschränkt, so gibt es eine monoton fallende Folge $(a_n)_{n\in\N}$ in $A$, die gegen $\inf(A)$ konvergiert. + +TODO: Heron-Verfahren verstehen + +## Der Satz von Bolzano-Weierstraß + +Mit der Folge $(a_n)_{n\in\N}$ in $K$ und der in $\N$ aufsteigenden Folge $n_0 < n_1 < n_2 < n_3 < ...$, ist $$(a_{n_k})_{k\in\N} = (a_{n_0}, a_{n_1}, a_{n_2}, a_{n_3}, ...)$$ eine **Teilfolge** von $(a_n)_{n\in\N}$. + +Jede beschränkte Folge in $K$ besitzt eine konvergente Teilfolge. + +Beispiel: Die divergente beschränkte Folge $((-1)^n)_{n\in\N}$ besitzt als konvergente Teilfolge die konstante Folge $((-1)^{2k})_{k\in\N} = (1)_{k\in\N}$ + +## Cauchy-Kriterium + +Eine Folge $(a_n)_{n\in\N}$ in $K$ heißt **Cauchy-Folge**, falls $$\forall \varepsilon > 0,\ \varepsilon \in \R:\ \exists n_\varepsilon \in \N: \forall m > n \geq n_\varepsilon: |a_m - a_n| < \varepsilon.$$ Sprich, eine Folge, bei der der Abstand beliebiger Folgenglieder ab einem bestimmten $n_\varepsilon$ immer kleiner als $\varepsilon$ ist. + +- Eine Folge in $K$ ist (konvergent $\iff$ eine Cauchy-Folge). +- Eine Cauchy-Folge rationaler Zahlen muss in $\Q$ nicht konvergent sein, d.h. ihr Grenzwert in $\R$ muss keine rationale Zahl sein. + +Beispiel: **Konvergente/Cauchy Folge** + +\includesvg{assets/folge} + +## Bestimmte Divergenz + +Mit der Folge $(a_n)_{n\in\N}$ in $\R$ gilt: + +- $(a_n)_{n\in\N}$ **divergiert bestimmt gegen $\infty$**, falls $$\forall s > 0: \exists n_s\in\N: \forall n \geq n_s: a_n > s.$$ Man nennt $\lim_{n\to\infty} a_n = \infty$ dann auch den uneigentlichen **Grenzwert** von $(a_n)_{n\in\N}$. +- $(a_n)_{n\in\N}$ **divergiert bestimmt gegen $-\infty$**, falls $$\forall s > 0: \exists n_s\in\N: \forall n \geq n_s: a_n < s.$$ Man nennt $\lim_{n\to\infty} a_n = -\infty$ dann auch den uneigentlichen **Grenzwert** von $(a_n)_{n\in\N}$. + +Beispiel: Die Folge $(n)_{n\in\N}$ ist bestimmt divergent mit Grenzwert $\infty$, die Folge $((-1)^n \cdot n)_{n\in\N}$ ist divergent, aber nicht bestimmt divergent. + +## Landau-Symbole + +TODO? + +# Unendliche Reihen + +--- + +Mit der Folge $(a_n)_{n\in\N}$ in $K$, ist die Folge $(s_n)_{n\in\N}$ mit der Summe der **Partialsummen** von $(a_n)_{n\in\N}$ auch die durch $(a_n)_{n\in\N}$ definierte **Reihe** $$s_n = \sum_{k=0}^n a_k.$$ + +Die Reihe heißt **konvergent**, wenn $(s_n)_{n\in\N}$ eine konvergente Folge ist, andernfalls heißt sie **divergent**. + +--- + +## Teleskopsumme + +Die Reihe $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}$ ist konvergent mit Grenzwert $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)} = 1$: + +<!-- prettier-ignore --> +\begin{displaymath}\begin{split} +s_n &= \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \\ +&= \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + ... + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) \\ +&= 1 - \frac{1}{n+1} \to 1. +\end{split}\end{displaymath} + +Reihen, die sich auf zwei Summanden reduzieren, weil sich die übrigen Teile der Summe auslöschen, nennt man **Teleskopsummen**. + +## Harmonische Reihe + +<!-- prettier-ignore --> +Die Reihe $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$ ist **divergent**. Die Reihe $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{1+\varepsilon}}$ mit $\varepsilon > 0$ **konvergiert**. + +## Grenzwertsätze + +Mit den konvergenten Reihen $\sum_{n=0}^\infty a_n$ und $\sum_{n=0}^\infty b_n$ in $K$ und $a \in K$ gilt: + +- $\sum_{n=0}^\infty (a_n + b_n) = \sum_{n=0}^\infty a_n + \sum_{n=0}^\infty b_n$ ist konvergent. +- $\sum_{n=0}^\infty (a_n - b_n) = \sum_{n=0}^\infty a_n - \sum_{n=0}^\infty b_n$ ist konvergent. +- $\sum_{n=0}^\infty (a \cdot b_n) = a \cdot \sum_{n=0}^\infty a_n$ ist konvergent. +- Mit $\forall n\in\N: a_n \leq b_n$ und $K = \R$: $\sum_{n=0}^\infty a_n \leq \sum_{n=0}^\infty b_n$. + +## Konvergenzkriterien für unendliche Reihen + +### Cauchy-Kriterium + +Mit der Reihe $\sum_{n=0}^\infty a_n$ in $K$ ist genau dann $\sum_{n=0}^\infty a_n$ konvergent, wenn $$\forall \varepsilon > 0: \exists n_\varepsilon\in\N: \forall m > n \geq n_\varepsilon: \left| \sum_{k=n+1}^m a_k \right| < \varepsilon.$$ + +### Restglieder + +Wenn die Reihe $\sum_{k=0}^\infty a_k$ konvergent ist, so ist die Folge der Restglieder eine Nullfolge, d.h. $$\lim_{n\to\infty} \sum_{k=n}^\infty a_k = 0.$$ + +### Nullfolgekriterium + +Ist $\sum_{n=0}^\infty a_n$ eine konvergente Reihe in $K$, so ist $(a_n)_{n\in\N}$ eine Nullfolge. + +### Geometrische Reihe + +Mit $q \in K$ gilt: + +- Ist $|q| < 1$, so ist die **geometrische Reihe** $\sum_{n=0}^\infty q^n$ konvergent mit Grenzwert $$\sum_{n=0}^\infty q^n = \frac{1}{1-q}.$$ +- Ist $|q| \geq 1$, so ist die **geometrische Reihe** $\sum_{n=0}^\infty q^n$ divergent. + +### Leibniz-Kriterium + +ist $(a_n)_{n\in\N}$ eine monoton fallende Nullfolge in $\R$, so konvergiert die Reihe $$\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \cdot a_n.$$ +Demnach ist auch die alternierende harmonische Reihe $\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}$ konvergent. + +### Umklammern + +TODO: Verstehen und Beispiele + +Mit der konvergenten Reihe $\sum_{n=0}^\infty a_n$ in $K$ und der aufsteigenden Folge $0 = k_0 < k_1 < k_2 < ...$ in $\N$, sowie mit $$b_n = \sum_{k=k_n}^{k_{n+1}-1} a_k = a_{k_n} + a_{k_{n+1}} + ... + a_{k_{n+1}-1}$$ ist die Reihe $\sum_{n=0}^\infty b_n$ konvergent und es gilt $$\sum_{n=0}^\infty a_n = \sum_{n=0}^\infty b_n.$$ + +## Absolute Konvergenz + +Eine Reihe $\sum_{n=0}^\infty a_n$ in $K$ heißt **absolut konvergent**, wenn die Reihe ihrer **Absolut**beträge $\sum_{n=0}^\infty |a_n|$ konvergiert. Da die Folge der Partialsummen $t_n = \sum_{k=0}^n |a_k|$ monoton wächst, ist dies gleichwertig dazu, dass die Folge $(t_n)_{n\in\N}$ beschränkt ist. + +Ist die Reihe $\sum_{n=0}^\infty a_n$ in $K$ absolut konvergent, so ist sie auch konvergent. + +Beispiel: Die alternierende harmonische Reihe ist konvergent, aber nicht absolut konvergent. + +### Umordnung + +TODO: Verstehen und Beispiele + +Mit der Folge $(a_n)_{n\in\N}$ in $K$ und der bijektiven Abbildung $\sigma: \N \to \N$ nennt man die Folge $$(a_{\sigma(n)})_{n\in\N} = (a_{\sigma(0)},a_{\sigma(1)},a_{\sigma(2)},a_{\sigma(3)},a_{\sigma(4)},...)$$ eine **Umordnung** von $(a_n)_{n\in\N}$ und die Reihe $$\sum_{n=0}^\infty a_{\sigma(n)} = a_{\sigma(0)}+a_{\sigma(1)}+a_{\sigma(2)}+a_{\sigma(3)}+a_{\sigma(3)}+...$$ eine **Umordnung** der Reihe $\sum_{n=0}^\infty a_n$. + +Durch Umordnung einer konvergenten Reihe kann sich der Grenzwert ändern. Jede Umordnung einer absolut konvergenten Reihe ist absolut konvergent und konvergiert gegen den gleichen Grenzwert. + +## Konvergenzkriterien für absolute Konvergenz + +### Majorantenkriterium + +Mit den Reihen $\sum_{n=0}^\infty a_n$ und $\sum_{n=0}^\infty b_n$ in $K$ gilt: + +Ist $\sum_{n=0}^\infty b_n$ absolut konvergent und $\forall n \geq n_0: |a_n| \leq |b_n|$, so ist auch $\sum_{n=0}^\infty a_n$ absolut konvergent. + +$\sum_{n=0}^\infty b_n$ ist dann eine konvergente **Majorante** von $\sum_{n=0}^\infty a_n$. + +### Minorantenkriterium + +Mit den Reihen $\sum_{n=0}^\infty a_n$ und $\sum_{n=0}^\infty b_n$ in $\R$ gilt: + +Ist $\sum_{n=0}^\infty b_n$ divergent und $\forall n\in\N: |a_n| \geq |b_n| \geq 0$, so ist auch $\sum_{n=0}^\infty a_n$ divergent. + +$\sum_{n=0}^\infty b_n$ ist dann eine divergente **Minorante** von $\sum_{n=0}^\infty a_n$. + +### Wurzelkriterium + +Mit der Reihe $\sum_{n=0}^\infty a_n$ in $K$ gilt: + +- Existiert ein $q < 1$ mit $\sqrt[n]{|a_n|} \leq q$ für $n \geq n_0$, so ist $\sum_{n=0}^\infty a_n$ absolut konvergent. +- Ist $\forall n \geq n_0: \sqrt[n]{|a_n|} \geq 1$, so ist $\sum_{n=0}^\infty a_n$ divergent. + +### Quotientenkriterium + +Mit der Reihe $\sum_{n=0}^\infty a_n$ in $K$ und $\forall n \geq n_0: a_n \neq 0$ gilt: + +- Existiert ein $q < 1$ mit $\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \leq q$ für $n \geq n_0$, so ist $\sum_{n=0}^\infty a_n$ absolut konvergent. +- Ist $\forall n \geq n_0: \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \geq 1$, so ist $\sum_{n=0}^\infty a_n$ divergent. + +### Praktikables Quotienten-/Wurzelkriterium + +Mit der Reihe $\sum_{n=0}^\infty a_n$ in $K$ und $\forall n \geq n_0: a_n \neq 0$ gilt: + +- Falls $\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| < 1$ oder $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} < 1$, so ist $\sum_{n=0}^\infty a_n$ absolut konvergent. +- Falls $\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| > 1$ oder $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} > 1$, so ist $\sum_{n=0}^\infty a_n$ divergent. +- Falls $\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = 1$ oder $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} = 1$, so wird für $\sum_{n=0}^\infty a_n$ keine Aussage getroffen. + +### Cauchy-Produkt + +TODO: Verstehen und Beispiele. + +Mit den absolut konvergenten Reihen $\sum_{n=0}^\infty a_n$ und $\sum_{n=0}^\infty b_n$ in $K$, sowie mit $$c_n = \sum_{k=0}^n a_k \cdot b_{n-k} = \sum_{i + j = n} a_i \cdot b_j.$$ für $n\in\N$, so ist ist die Reihe $\sum_{n=0}^\infty c_n$ absolut konvergent und es gilt $$\sum_{n=0}^\infty c_n = \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot \sum_{n=0}^\infty b_n.$$ + +## Potenzreihen + +Mit der Folge $(a_n)_{n\in\N}$ in $K$, $a \in K$ und der Variable $t$ gilt: Ein Ausdruck der Form $\sum_{n=0}^\infty a_n \cdot (t-a)^n$ eine **Potenzreihe** über $K$ in der Variable $t$ mit **Entwicklungspunkt** $a$. Mit $a=0$ schreibt man auch $\sum_{n=0}^\infty a_n \cdot t^n$. + +--- + +Wenn mit der Folge $(a_n)_{n\in\N}$ in $K$ und $y \in K$ die Reihe $\sum_{n=0}^\infty a_n \cdot y^n$ konvergiert, so ist die Reihe $\sum_{n=0}^\infty a_n \cdot x^n$ absolut konvergent für alle $x \in K$ mit $|x| < |y|$. + +### Konvergenzradius + +Für eine Potenzreihe $\sum_{n=0}^\infty a_n \cdot t^n$ über $K$ nennt man $$r = \sup \left\{ |y|\ \Bigg\vert\ y \in K,\ \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot y^n \text{ ist konvergent} \right\} \in \R_{\geq 0} \cup \{ \infty \}$$ den **Konvergenzradius** der Potenzreihe. Sprich: Für welche $t$ konvergiert die Potenzreihe? + +Mit der Potenzreihe $\sum_{n=0}^\infty a_n \cdot t^n$ über $K$ mit Konvergenzradius $r$ gilt: + +- Ist $x \in K$ mit $|x| < r$, so ist $\sum_{n=0}^\infty a_n \cdot x^n$ absolut konvergent. +- Ist $x \in K$ mit $|x| > r$, so ist $\sum_{n=0}^\infty a_n \cdot x^n$ divergent. +- Ist $x \in K$ mit $|x| = r$, so ist $x$ der **Rand** des Konvergenzbereiches und es wird keine Aussage getroffen. +- Ist $r = \infty$, so ist $\sum_{n=0}^\infty a_n \cdot x^n$ für alle $x \in K$ absolut konvergent. + +Mit $U_r(0) = \{ x \in K\ \vert\ |x| < r \}$ definiert die Potenzreihe eine Abbildung, die auch **Konvergenzbereich** der Potenzreihe genannt wird: $$U_r(0) \to K: x \mapsto \sum_{n=0}^\infty a_n \cdot x^n$$ +Ist $K = \R$, so ist die Menge $U_r(0) = (-r,r)$ ein offenes Intervall. Ist $K = \C$, so ist die Menge $U_r(0)$ ein Kreis mit Radius $r$ um den Ursprung. + +TODO: Beispiele + +### Cauchy-Hadamard + +Mit der Potenzreihe $\sum_{n=0}^\infty a_n \cdot t^n$ über $K$ gilt: + +- Falls der eigentliche oder uneigentliche Grenzwert $\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \in \R_{\geq 0} \cup \{ \infty \}$ existiert, so ist der Konvergenzradius von $\sum_{n=0}^\infty a_n \cdot t^n$ gegeben durch $$r = \frac{1}{\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|}.$$ +- Falls der eigentliche oder uneigentliche Grenzwert $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|} \in \R_{\geq 0} \cup \{ \infty \}$ existiert, so ist der Konvergenzradius von $\sum_{n=0}^\infty a_n \cdot t^n$ gegeben durch $$r = \frac{1}{\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}}.$$ + +### Exponentialfunktion + +Die Potenzreihe $\sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}$ über $K$ hat den Konvergenzradius $r = \infty$. Die Dadurch definierte Abbildung $$\exp: K \to K: x \mapsto \exp(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$$ nennt man die **Exponentialfunktion**. Sie genügt der **Funktionalgleichung** $$\exp(x+y) = \exp(x) \cdot exp(y)$$ für $x,y \in K$. + +Außerdem gilt $e^x = \exp(x)$, $e = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}$ und damit mit den Potenzgesetzen auch $e^{x+y} = e^x \cdot e^y$. + +### Sinus und Cosinus + +TODO: Oder später dann? + +### $b$-adische Zahldarstellung + +TODO: Relevant? + +# Grenzwerte von Funktionen + +## $\varepsilon$-Umgebung + +Mit $\varepsilon > 0$ und $a\in\R$ heißt das Intervall $$U_\varepsilon = (a - \varepsilon, a + \varepsilon) = \{ x\in\R\ \vert\ |x - a| < \varepsilon \}$$ die **$\varepsilon$-Umgebung** von $a$. + +## Häufungspunkte + +- Mit der Teilmenge $U\subset\R$ und $a\in\R$ nennt man $a$ einen **Häufungspunkt** von $U$, wenn $$\forall \varepsilon > 0: \exists x \in U \setminus \{ a \}: 0 < |x - a| < \varepsilon.$$ +- $a\in\R$ ist genau dann ein Häufungspunkt von $U\subset\R$, wenn jede $\varepsilon$-Umgebung von $a$ einen von $a$ verschiedenen Punkt aus $U$ enthält. TODO: Verstehen +- $a\in\R$ ist genau dann ein Häufungspunkt von $U\subset\R$, wenn es eine Folge $(a_n)_{n\in\N}$ mit $a_n \in U \setminus \{ a \}$ und $lim_{n\to\infty} a_n = a$ gibt, d.h. $a$ ist Grenzwert einer Folge in $U \setminus \{ a \}$. + +Beispiel mit der Folge $(-1)^n \cdot \frac{n}{n+1}$ in $\R$ mit den zwei Häufungspunkten $+1$ und $-1$: + +\begin{center} +\includesvg[width=15cm]{assets/haeufungspunkt} +\end{center} + +## $\varepsilon$-$\delta$-Kriterium + +Mit $U\subset\R$, der Funktion $f: U\to\R$ und dem Häufungspunkt $a$ von $U$, ist $y\in\R$ der **Grenzwert** von $f$ in $a$, falls $$\forall \varepsilon > 0: \exists \delta_\varepsilon > 0: \forall x \in U \text{ mit } 0 < |x - a| < \delta_\varepsilon \text{ gilt } |f(x) - y| < \varepsilon.$$ Man schreibt dann $$\lim_{x \to a} f(x) = y$$ und sagt, $f(x)$ **konvergiert** gegen $y$ für $x$ gegen $a$. + +\begin{center}\begin{tikzpicture}[holdot/.style={circle,draw,fill=white,inner sep=1pt}] +\draw[line width=4mm,blue!30] (3,0)--(3,4); +\draw[very thick,red!80!pink,dashed] (2.8,0) -- (2.8,4); +\draw[double distance=4mm,very thick,double=orange,red!80!pink] (0,4) -- (5,4); +\draw[very thick,red!80!pink,dashed] (3.2,0) -- (3.2,4.2); +\draw[thick,-latex] (-2,0) -- (6,0); +\draw[thick,-latex] (0,-1) -- (0,6); +\draw[very thick,blue!50!cyan] (-0.8,0.2) -- (3.5,4.5) to[out=45,in=135] +node[pos=0.5,above,font=\large]{$f(x) \to y \text{ für } x \to a$} (5,4.5); +\draw[very thick,dashed] (0,4) node[left] (L) {$y$} -| (3,0) node[below] (x0) {$a$}; +\draw[very thick,blue!50!cyan,fill=white] (3,4) circle[radius=2pt]; +\draw (L) -- ++(120:0.7) node[above] {$y+\varepsilon$} +(L) -- ++(-120:0.7) node[below] {$y-\varepsilon$} +(x0) -- ++(-45:0.7) node[below right] {$a+\delta$} +(x0) -- ++(-135:0.7) node[below left] {$a-\delta$}; +\end{tikzpicture}\end{center} + +## Folgenkriterium + +Mit $U\subset\R$, der Funktion $f: U\to\R$ und dem Häufungspunkt $a$ (inkl. bestimmte Divergenz mit $\pm\infty$) von $U$ gilt: +$$\lim_{x \to a} f(x) = y \iff \forall (a_n)_{n\in\N},\ a_n \in U \setminus \{ a \},\ \lim_{n\to\infty} f(a_n) = a: \lim_{n\to\infty} f(a_n) = y.$$ + +Beispiel mit $f: \R\to\R: x \mapsto x^2$ und $a = 3$. Für eine Folge $(a_n)_{n\in\N}$ mit $a_n \to 3$ gilt dann wegen der Grenzwertsätze für Folgen $$\lim_{n\to\infty} f(a_n) = a^2_n = a_n \cdot a_n \to 3 \cdot 3 = 9.$$ Demnach gilt auch $$\lim_{x \to 3} x^2 = 9 = f(3).$$ + +TODO: Visualisierung und Verständnis + +## Grenzwertsätze + +Mit den Funktionen $f: U\to\R$, $g: U\to\R$, dem Häufungspunkt $a$ (inkl. bestimmte Divergenz mit $\pm\infty$) von $U$ und $c\in\R$ gilt: + +- Der Grenzwert von $f$ in $a$ ist eindeutig bestimmt, d.h. falls $\lim_{x \to a} f(x) = y$ und $\lim_{x \to a} f(x) = z$, so ist $y = z$. TODO: Verstehen +- Wenn $\lim_{x \to a} f(x)$ und $\lim_{x \to a} g(x)$ existieren, so gelten: + - $\lim_{x \to a}(c \cdot f)(x) = c \cdot \lim_{x \to a} f(x).$ + - $\lim_{x \to a}(f + g)(x) = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x).$ + - $\lim_{x \to a}(f - g)(x) = \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x).$ + - $\lim_{x \to a}(f \cdot g)(x) = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x).$ +- Wenn außerdem $\lim_{x \to a} f(x) \neq 0$, so ist $a$ ein Häufungspunkt der Menge $V = \{ x \in U\ \vert\ f(x) \neq 0 \}$ und es gilt $$\lim_{x \to a} \frac{1}{f}(x) = \frac{1}{\lim_{x \to a} f(x)}.$$ + +## Polynome + +Mit der Variable $t$ und $a_0, ..., a_n \in \R$ ist ein Ausdruck der Form $$\sum_{k=0}^n a_k \cdot t^k = a_n \cdot t^n + a_{n-1} \cdot t^{n-1} + ... + a_1 \cdot t + a_0$$ ein **Polynom** in der Variable $t$ mit Koeffizienten in $\R$. Ist $a_n \neq 0$, so heißt $$\deg \left( \sum_{k=0}^n a_k \cdot t^k \right) = n$$ der **Grad** des Polynoms. Außerdem ist $\deg(0) = -\infty$. Mit $$\R[t] = \left\{ \sum_{k=0}^n a_k \cdot t^k\ \Bigg\vert\ n\in\N,\ a_0,...,a_n \in \R \right\}$$ wird die Menge aller Polynome in der Variable $t$ mit Koeffizienten in $\R$ bezeichnet, so dass der Grad eine Abbildung $\deg: \R[t] \to \N \cup \{ -\infty \}$ ist. + +Für ein Polynom $f = \sum_{k=0}^n a_k \cdot t^k \in \R[t]$ und ein $x\in\R$ ist $$f(x) = \sum_{k=0}^n a_k \cdot x^k.$$ Sind $f,g\in\R[t]$ zwei Polynome, $g \neq 0$ nicht das Nullpolynom, so ist die Funktion $$f: \R\to\R: x \mapsto f(x)$$ eine **Polynomfunktion** und die Funktion $$\frac{f}{g}: \R \setminus \{ x\in\R\ \vert\ g(x) = 0 \} \to \R: x \mapsto \frac{f(x)}{g(x)}$$ eine **rationale Funktion**. + +Ist $h: \R\to\R$ irgendeine Funktion, so ist $x\in\R$ mit $h(x) = 0$ eine **Nullstelle** von $h$. + +Es gilt: $$|\{ x\in\R\ \vert\ g(x) = 0 \}| \leq \deg(g) < \infty.$$ + +## Uneigentliche Grenzwerte + +Mit $U\subset\R$, $f: U\to\R$ und $y\in\R$ gilt: + +- $U$ ist **nach oben/unten** beschränkt, wenn die Menge $U \cap [0,\infty)$ bzw. $U \cap (-\infty, 0]$ nicht beschränkt ist. +- Ist $U$ ist nach oben beschränkt, so ist $y$ der **Grenzwert** von $f$ in $\infty$, wenn $$\forall \varepsilon > 0:\ \exists s_\varepsilon > 0: \forall x \in U \text{ mit } x > s_\varepsilon \text{ gilt } |f(x) - y| < \varepsilon.$$ Man schreibt dann $\lim_{x\to\infty} f(x) = y$. +- Ist $U$ ist nach unten beschränkt, so ist $y$ der **Grenzwert** von $f$ in $\infty$, wenn $$\forall \varepsilon > 0:\ \exists s_\varepsilon < 0: \forall x \in U \text{ mit } x < s_\varepsilon \text{ gilt } |f(x) - y| < \varepsilon.$$ Man schreibt dann $\lim_{x\to\infty} f(x) = y$. + +TODO: Visualisierung (bzw. Wiederholung mergen?) + +### Definition + +Mit $U\subset\R$, $f: U\to\R$ und dem Häufungspunkt $a$ von $U$ gilt: + +- $\infty$ ist der **uneigentliche Grenzwert** von $f$ in $a$, wenn $$\forall s > 0: \exists \delta_s > 0: \forall x \in U \text{ mit } 0 < |x - a| < \delta_s \text{ gilt } f(x) > s.$$ Man schreibt dann $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$. +- $-\infty$ ist der **uneigentliche Grenzwert** von $f$ in $a$, wenn $$\forall s < 0: \exists \delta_s > 0: \forall x \in U \text{ mit } 0 < |x - a| < \delta_s \text{ gilt } f(x) < s.$$ Man schreibt dann $\lim_{x \to a} f(x) = -\infty$. +- Ist $U$ nach oben unbeschränkt, so ist $\infty$ ist der **uneigentliche Grenzwert** von $f$ in $\infty$, wenn $$\forall s > 0: \exists t > 0: \forall x \in U \text{ mit } x > t \text{ gilt } f(x) > s.$$ Man schreibt dann $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$. +- Ist $U$ nach oben unbeschränkt, so ist $-\infty$ ist der **uneigentliche Grenzwert** von $f$ in $\infty$, wenn $$\forall s < 0: \exists t > 0: \forall x \in U \text{ mit } x > t \text{ gilt } f(x) < s.$$ Man schreibt dann $\lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty$. +- Ist $U$ nach unten unbeschränkt, so ist $\infty$ ist der **uneigentliche Grenzwert** von $f$ in $-\infty$, wenn $$\forall s > 0: \exists t < 0: \forall x \in U \text{ mit } x < t \text{ gilt } f(x) > s.$$ Man schreibt dann $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$. +- Ist $U$ nach unten unbeschränkt, so ist $-\infty$ ist der **uneigentliche Grenzwert** von $f$ in $-\infty$, wenn $$\forall s < 0: \exists t < 0: \forall x \in U \text{ mit } x < t \text{ gilt } f(x) < s.$$ Man schreibt dann $\lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty$. + +TODO: Visualisierung + +# Stetigkeit + +## $\varepsilon$-$\delta$-Kriterium + +Mit $U\subset\R$, der Funktion $f: U\to\R$ und $a \in U$, ist $f$ **stetig in $a$**, wenn $$\forall \varepsilon > 0: \exists \delta_\varepsilon > 0: \forall x \in U \text{ mit } |x - a| < \delta_\varepsilon \text{ gilt } |f(x) - f(a)| < \varepsilon.$$ +Die Funktion $f$ heißt **stetig** (auf $U$), wenn sie stetig in jedem Punkt in $U$ ist. $\mathcal{C}(U,\R) = \{ f: U \to \R\ \vert\ f \text{ stetig } \}$ ist die Menge der auf $U$ stetigen Funktionen. + +\begin{center}\begin{tikzpicture}[holdot/.style={circle,draw,fill=white,inner sep=1pt}] +\draw[line width=4mm,blue!30] (3,0)--(3,4); +\draw[very thick,red!80!pink,dashed] (2.8,0) -- (2.8,4); +\draw[double distance=4mm,very thick,double=orange,red!80!pink] (0,4) -- (5,4); +\draw[very thick,red!80!pink,dashed] (3.2,0) -- (3.2,4.2); +\draw[thick,-latex] (-2,0) -- (6,0); +\draw[thick,-latex] (0,-1) -- (0,6); +\draw[very thick,blue!50!cyan] (-0.8,0.2) -- (3.5,4.5) to[out=45,in=135] +node[pos=0.5,above,font=\large]{$f(x)$} (5,4.5); +\draw[very thick,dashed] (0,4) node[left] (L) {$f(a)$} -| (3,0) node[below] (x0) {$a$}; +\draw[very thick,blue!50!cyan,fill=white] (3,4) circle[radius=2pt]; +\draw (L) -- ++(120:0.7) node[above] {$f(a)+\varepsilon$} +(L) -- ++(-120:0.7) node[below] {$f(a)-\varepsilon$} +(x0) -- ++(-45:0.7) node[below right] {$a+\delta$} +(x0) -- ++(-135:0.7) node[below left] {$a-\delta$}; +\end{tikzpicture}\end{center} + +Da die Stetigkeit sich immer nur auf eine $\varepsilon$-Umgebung von $a$ bezieht, ist Stetigkeit eine _lokale_ Eigenschaft. + +## Stetigkeit in Häufungspunkten + +Mit $U\subset\R$, $f: U\to\R$ und dem Häufungspunkt $a \in U$, gilt: +$$f \text{ ist stetig in } a \iff \lim_{x \to a} f(x) = f(a).$$ + +Beispiel mit $f: \R\to\R: x \mapsto \begin{cases} x & \text{falls $x < 1$} \\ x + 1 & \text{falls $x \ge 1$} \end{cases}$ + +<!-- prettier-ignore --> +\begin{center}\begin{tikzpicture} +\begin{axis}[axis lines = center] +\addplot[domain=-5:1,color=black]{x}; +\addplot[domain=1:5,color=black]{x + 1}; +\end{axis} +\end{tikzpicture}\end{center} + +$f$ ist in $1$ nicht stetig, da $\lim_{x \to 1} f(x) = 1 \neq 2 = f(1)$. + +Beispiel mit $f: \R\to\R: x \mapsto |x|$ + +<!-- prettier-ignore --> +\begin{center}\begin{tikzpicture} +\begin{axis}[axis lines = center] +\addplot[domain=-5:0,color=black]{abs(x)}; +\addplot[domain=0:5,color=black]{x}; +\end{axis} +\end{tikzpicture}\end{center} + +$f$ ist in $0$ stetig, da $\lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0)$. + +Die Betragsfunktion ist außerdem im Allgemeinen stetig, da aufgrund der Grenzwertsätze für Folgen für $a\in\R$ und $(a_n)_{n\in\N}$ mit $a_n \to a$ auch $|a_n| \to |a|$ gilt. TODO + +## Folgenkriterium + +Mit $U \subset \R$, $f: U\to\R$ und $a \in U$ gilt: + +$f$ ist genau dann stetig in $a$, wenn $$\forall (a_n)_{n\in\N} \text{ mit } a_n \in U \text{ und } \lim_{n\to\infty} a_n = a \text{ gilt } \lim_{n\to\infty} f(a_n) = f(a).$$ + +## Rechenregeln + +Mit $c\in\R$ und den den in $a \in U$ stetigen Funktionen $f: U\to\R$ und $g: U\to\R$ gilt: + +- $c \cdot f$, $f+g$, $f-g$ und $f \cdot g$ sind stetig in $a$. +- Ist $g(a) \neq 0$, so ist auch $\frac{f}{g}: U \setminus \{ x \in U\ \vert\ g(x) = 0 \} \to \R$ stetig in $a$. + +Mit $a \in U$ und den Funktionen $f: U\to\R$ und $g: V\to\R$ mit $\text{im}(f) \subset V$ gilt: Ist $f$ stetig in $a$ und $g$ stetig in $f(a)$, so ist $g \circ f$ stetig in $a$. + +## Fortsetzbarkeit + +Mit der stetigen Funktion $f: U\to\R$ und dem Häufungspunkt $a\in\R \setminus U$ von $U$, nennt man $f$ in $a$ **stetig fortsetzbar**, falls $\lim_{x \to a} f(x)$ existiert. + +Dann nennt man auch $$g: U \cup \{ a \} \to \R: x \mapsto \begin{cases}f(x) & \text{ falls } x \neq a\\ \lim_{z \to a} f(z) & \text{ falls } x = a\end{cases}$$ die **stetige Fortsetzung** von $f$, und $g$ ist aufgrund der Stetigkeit in Häufungspunkten stetig in $a$ und damit stetig auf $U \cup \{ a \}$. TODO: Wie bitte + +## Eigenschaften + +### Zwischenwertsatz + +Eine stetige Funktion $f: [a,b]\to\R$ nimmt jeden Wert zwischen $f(a)$ und $f(b)$ an. + +### Beschränktheit + +Eine Funktion $f: U\to\R$ heißt **beschränkt**, wenn $\text{im}(f)$ beschränkt ist. + +Eine stetige Funktion $f: [a,b]\to\R$ ist beschränkt. + +### Minima/Maxima + +Eine stetige Funktion $f: [a,b]\to\R$ nimmt ihr Maximum und ihr Minimum an, d.h. es gibt $c,d \in [a,b]$, so dass für alle $x \in [a,b]$ gilt $$f(c) \leq f(x) \leq f(d).$$ + +## Monotonie + +### Definition + +TODO: Woanders hin? + +Mit der Funktion $f: U\to\R$ gilt: + +- $f$ heißt **monoton wachsend**, wenn für $x,y \in U$ aus $x \leq y$ stets $f(x) \leq f(y)$ folgt. +- $f$ heißt **streng monoton wachsend**, wenn für $x,y \in U$ aus $x < y$ stets $f(x) < f(y)$ folgt. +- $f$ heißt **monoton fallend**, wenn für $x,y \in U$ aus $x \leq y$ stets $f(x) \geq f(y)$ folgt. +- $f$ heißt **streng monoton fallend**, wenn für $x,y \in U$ aus $x < y$ stets $f(x) > f(y)$ folgt. + +Ist $f: U\to\R$ streng monoton wachsend oder fallend, so ist $f$ injektiv. +Denn, für $x,y \in U$ mit $x \neq y$ gilt $x < y$ oder $x > y$ und somit $f(x) < f(y)$ oder $f(x) > f(y)$, aber in jedem Fall $f(x) \neq f(y)$. + +### Umkehrsatz + +Mit $a,b\in\R \cup \{ -\infty, \infty \}$ mit $a < b$, der Funktion $f: (a,b) \to \R$, $c = \inf(\text{im}(f))\in\R \cup \{ -\infty \}$ und $d = \sup(\text{im}(f))\in\R \cup \{ \infty \}$ gilt: + +- Ist $f$ streng monoton wachsend und stetig, so gilt: + - $f: (a,b) \to (c,d)$ ist bijektiv. + - $f^{-1}: (c,d) \to (a,b)$ ist streng monoton wachsend und stetig. +- Ist $f$ streng monoton fallend und stetig, so gilt: + - $f: (a,b) \to (c,d)$ ist bijektiv. + - $f^{-1}: (c,d) \to (a,b)$ ist streng monoton fallend und stetig. |