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diff --git a/notes/mathe3/exam.md b/notes/mathe3/exam.md new file mode 100644 index 0000000..87c1539 --- /dev/null +++ b/notes/mathe3/exam.md @@ -0,0 +1,345 @@ +--- +author: Marvin Borner +date: "`\\today`{=tex}" +lang: de-DE +pandoc-latex-environment: + bem-box: + - bem + bsp-box: + - bsp + proof-box: + - proof + visu-box: + - visu +toc-title: Inhalt +--- + +```{=tex} +\newpage +``` +# Sinnvolle Rechenregeln + +## Potenzregeln + +- $a^n\cdot a^m=a^{n+m}$ +- $a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n$ +- $(a^n)^m=a^{n\cdot m}$ +- $\frac{a^n}{b^n}=\left(\frac{a}{b}\right)^n$ +- $\frac{a^n}{b^m}=a^{n-m}$ + +## Toll + +- $\sin^2(x)+\cos^2(x)=1$ + +# Euklidischer Algorithmus + +Zur Berechnung des ggT. + +::: bsp +Berechnung von $\ggT(48,-30):$ +`\begin{align*}48&=-1\cdot-30+18\\-30&=-2\cdot18+6\\18&=3\cdot6+0\end{align*}`{=tex} + +$\ggT(48,-30)=6$ +::: + +TODO: kgV mit Primfaktorzerlegung + +# Erweiterter Euklidischer Algorithmus + +Zur Berechnung von $s,t$, da: +$$0\ne a,b\in\Z\implies\exists s,t\in\Z:\ggT(a,b)=sa+tb$$ ggT +gleichsetzen, rückwärts einsetzen und je ausmultiplizieren. + +::: bsp +Mit vorigem Beispiel: +`\begin{align*}6&=-30+2\cdot18\\&=-30+2\cdot(48+1\cdot-30)\\&=2\cdot48+3\cdot-30\end{align*}`{=tex} +::: + +TODO: Polynome. + +# Inverse prüfen + +$$a\in\Z_n\text{ invertierbar}\iff\ggT(a,n)=1$$ $a^{-1}$ ist dann $s$ +aus $sa+tn=1$ des EEA. + +# Zykel + +- zyklische Gruppe, von $a$ erzeugt: + $\langle a\rangle\defeq\{a^n\mid n\in\Z\}$ + +# Fundamentalsatz + +Mit $2\le n\in\N$ gibt es endlich viele paarweise verschiedene +$p_1,...,p_k\in\P$ und $e_1,...,e_k\in\N$, sodass +$$n=p_1^{e_1}\cdot...\cdot p_k^{e_k}.$$ + +# Chinesischer Restsatz + +Lösen von simultaner Kongruenz. + +TODO: Beispiel. + +# Reduzibilität + +- TODO: Nullstellen und so +- TODO: Mit Primzahlen ez + +# Lösen von $a^b\pmod{n}$ + +- falls $n$ groß: Primfaktorzerlegung von $n$ und für jeden Faktor + durchführen. +- Modulo in Potenzen aufnehmen (Trick: $2\pmod{3}=-1$) +- Satz von Euler: $a^{\varphi(n)}\equiv1\pmod{n}$ +- sonst schlau Potenzregeln anwenden + +# Eulersche $\varphi$-Funktion + +- $\varphi(p)=p-1$ für $p\in\P$ +- $\varphi(M)=m_1\cdot...\cdot m_n$ mit $m_i\in\N$ paarweise + teilerfremd (bspw. über chinesischen Restsatz) +- $\varphi(M)=(p_1-1)p_1^{a_1-1}\cdot...\cdot(p_k-1)p_k^{a_k-1}$, mit + Primfaktorzerlegung $M=p_1^{a_1}\cdot...\cdot p_k^{a_k}$ + +::: bsp +$\varphi(100)=\varphi(4\cdot5^2)=\varphi(4)\cdot\varphi(5^2)=2\cdot(5-1)\cdot5^{2-1}=40$ +::: + +# RSA-Verfahren + +Bob (Schlüsselerzeugung) + +1. wählt zwei große $p,q\in\P: p\ne q$ und bildet $n=pq$ +2. berechnet $\varphi(n)=(p-1)(q-1)$ +3. wählt $e$ teilerfremd zu $\varphi(n)$ +4. bestimmt $0<d<\varphi(n)$ mit $e\cdot d\pmod{\varphi(n)}=1$. + Verwendet dazu EEA: $ed\pmod{\varphi(n)}$ +5. Public key: $(e,n)$. Private key: d + +Alice (Verschlüsselung) + +1. kodiert Nachricht als Zahl und zerlegt sie anschließend in Blöcke + gleicher Länge, sodass jeder Block $m_i$ als Zahl $0\le m_i<n$ ist. + Blöcke werden einzeln verschlüsselt. Sei $m$ ein solcher Block. +2. berechnet $c=m^e\pmod{n}$ +3. sendet $c$ an Bob. + +Bob (Entschlüsselung) + +1. berechnet $c^d\pmod{n}=m$ für alle Blöcke + +::: bsp +Gegeben $(n,e)=(33,3)$ public key + +1. Verschlüsseln Sie die Nachricht $m=6$.`\newline`{=tex} + $c=m^e\pmod{n}=6^3\pmod{33}=3\cdot 6=18$ +2. Faktorisieren Sie $n=33$, berechnen Sie $\varphi(n)$ und + $d$.`\newline`{=tex} $\varphi(n)=2\cdot10=20$, $ed\pmod{20=1}$. Man + erkennt $d=7$. +3. Entschlüsseln Sie die Nachricht $c=2$: + $m=c^d\pmod{n}=2^7\pmod{33}=2^5\cdot2^2\pmod{33}=-4\pmod{33}=29$. +::: + +# Konvergenz + +Sei $(x_k)_{k\in\N}$ eine Folge im $\R^n$. $(x_k)_{k\in\N}$ konvergiert +gegen $a\in\R^n$ ($x_k\to a$ oder $\lim_{k\to\infty}x_k=a$) wenn gilt +$$\forall\varepsilon>0\ \exists N\in\N\ \forall k\ge N:\|x_k-a\|<\varepsilon.$$ + +# Eigenschaften von Mengen + +- Sei $x_0\in\R^n,\ \varepsilon>0$. + $K_\varepsilon(x_0)=\{x\in\R^n\mid\|x-x_0\|<\varepsilon\}$ heißt + offene $\varepsilon$-Kugel um $x_0$. +- $D\subseteq\R^n$ **beschränkt** + $\defiff\exists K>0:\|x\|<K\quad\forall x\in D$ +- $U\subseteq\R^n$ **offen** + $\defiff\forall x\in U\exists\varepsilon>0:K_\varepsilon(x)\subseteq U$ +- $A\subseteq\R^n$ **abgeschlossen** $\defiff A^C=\R^n\setminus A$ + offen +- Sei $(x_k)$ Folge in $A\subseteq\R^n$ mit Grenzwert $a\in\R^n$. $A$ + **abgeschlossen** $\iff a\in A$. +- $x\in\R^n$ Randpunkt von + $D\subseteq\R^n\defiff K_\varepsilon(x)\cap D\ne\emptyset$ und + $K_\varepsilon(x)\cap D^C\ne\emptyset\quad\forall\varepsilon>0$. +- $\partial D$ ist die (abgeschlossene) Menge aller Randpunkte von + $D$. +- $D\subseteq\R^n$ **kompakt** $\defiff$ Jede Folge in $D$ besitzt + eine in $D$ konvergente Teilfolge. +- $D\subseteq\R^n$ **kompakt** $\iff D$ beschränkt und abgeschlossen. +- $\bar{D}\defeq D\cup\partial D$ ist abgeschlossen und heißt + **Abschluss** von $D$. +- $\mathring{D}\defeq D\setminus\partial D$ ist offen und heißt + **Innneres** von $D$. + +# Stetigkeit + +Sei $f: D\subset\R^n\to\R^m$. + +- $f$ stetig in $a\in D\defiff\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ +- $f$ stetig auf $D\defiff f\text{ stetig in }a\quad\forall a\in D$ + +Mit $f: D\subseteq\R^n\to\R^n, v\subseteq f(0)$, $V$ offen: +$$f\text{ stetig}\iff f^{-1}(V)\text{ offen.}$$ + +TODO: Stetige Fortsetzbarkeit + +## Polarkoordinaten + +- $x=r\cdot\cos(\alpha)$ +- $y=r\cdot\sin(\alpha)$ +- statt $(x,y)$ $(r,\alpha)$ gegen $a$ laufen lassen (TODO!) + +## Prüfen + +- In Punkt: $\lim_{v\to v_0} f(v)=f(v_0)$ + - bspw. mit Polarkoordinaten + - oder mit + $0\le|f(x,y)|\le ... \implies \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0$ + - bspw. x aus Nenner nehmen + +# Weierstraß Minimax-Theorem + +$f:D\subseteq\R^n\to\R$ stetig, $D$ kompakt. + +$\implies\exists x_\star,x^\star\in D: \underbrace{f(x_\star)}_\mathrm{min}\le f(x)\le\underbrace{f(x^\star)}_\mathrm{max}\quad\forall x\in D$ + +::: bsp +$f:\R^2\to\R$, $f(x,y)=xy$ + +$S=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\in\R^2\mid x^2+y^2=1\right\}$ + +$\implies f$ hat Maximum und Minimum auf $S$ +::: + +# TODO: Zeug? + +# Differenziation + +Sei $D\subseteq\R^n$ offen, $f:D\to\R^m$, $f(x)=(f_1(x),...,f_m(x))$ und +$a=(a_1,...,a_n)^\top\in D$. + +- Jacobimatrix: + $$f'(a)\defeq\begin{pmatrix}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(a)&...&\frac{\partial f_1}{\partial x_n}(a)\\\frac{\partial f_m}{\partial x_1}(a)&...&\frac{\partial f_m}{\partial x_n}(a)\\\end{pmatrix}\in\M_{m,n}(\R)$$ +- Gradient: + $$f'(a)^\top=\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1}(a)\\\vdots\\\frac{\partial f}{\partial x_n}(a)\end{pmatrix}=:\nabla f(a)=\grad(f(a))\in\R^n$$ + +Sei $D\subseteq\R^n$ offen, $a\in D$, $f: D\to\R^m$. + +- $f$ heißt in $a\in D$ (total) differenzierbar, wenn $f$ geschrieben + werden kann als + $$f(x)=\underbrace{f(a)}_{\in\R^m}+\underbrace{A}_{\in\M_{m,n}(\R)}\cdot(\underbrace{x-a}_{\in\R^m})+\underbrace{R(x)}_{\in\R^m},$$ + wobei $A\in\M_{m,n}(\R)$ und $R: D\to\R^m$ mit + $\lim_{x\to a}\frac{R(x)}{\|x-a\|}=0$ +- $f$ heißt (total) differenzierbar, wenn in jedem Punkt von $D$ + differenzierbar. + +Anderes: + +- $f:D\subseteq\R^n\to\R^m$ differenzierbar in $a\in D$ (D offen) + $\implies f$ stetig in $a$. +- **Tangentialebene**: $g(x)=f(a)+f'(a)\cdot(x-a)$ +- $f$ differenzierbar in $a\in D\iff f_i$ differenzierbar in + $a\in D\quad\forall i\in\{1,...,n\}$. + +## Prüfen + +- ob in Punkt $p$ partiell differenzierbar: partielle Ableitungen + bilden + - falls bspw. Fallunterscheidung und $(0,0)$-Punkt: $h$-Definition + für $x$/$y$ anwenden + - Richtungsableitung: $f_v(x,y)=\frac{(x+hv_1,0+hv_2)-f(0,0)}{h}$ +- total differenzierbar + - je partiell ableiten und prüfen ob Ableitungen stetig + - mit Richtungsleitung versuchen Gegenteil zu beweisen (TODO) + +# Ableitungsregeln + +- $(g\circ f)'(a)=g'(f(a))\cdot f'(a)$ +- $(f+g)'(a)=f'(a)+g'(a)$ +- $(\lambda f)'(a)=\lambda f'(a)$ +- $(f^\top g)'(a)=f(a)^\top g'(a)+g(a)^\top f'(a)$ + +TODO: lhopital + +Anderes: + +- $\left(\ln x\right)'=\frac 1 x$ +- $\left(\frac gh\right)'=\frac{h\cdot g'-g\cdot h'}{h^2}$ +- $\left(\frac{a}{x^k}\right)'=-\frac{ka}{x^{k+1}}$ bzw. unten + Kettenregel + +# Richtungsableitung + +Sei $D\subseteq\R^n$ offen, $f:D\to\R$, $v\in\R^n$ mit $\|v\|=1$. + +$f$ heißt in $a\in D$ differenzierbar in Richtung $v$, falls +$\lim_{h\to0}\frac{f(a+hv)-f(a)}{h}$ exisitert. Der Grenzwert heißt +Richtungsableitung von $f$ in Richtung $v$ in $a$, +$\frac{\partial f}{\partial v}(a)$. + +# Satz von Schwarz + +TODO. + +# Definitheit + +1. Partielle Ableitungen +2. Gradienten mit $0$ gleichsetzen +3. Hessematrix und Punkte einsetzen (falls $x$/$y$ vorhanden) +4. Über Eigenwerte oder Determinante bestimmen + +## Matrix + +Eine symmetrische Matrix $A\in\M_n(\R)$ ist + +- positiv definit $\iff$ $\det(A_k)>0\quad\forall k\in\{1,...,n\}$ +- negativ definit $\iff$ + $\det(A_k)\begin{cases}<0&k\text{ ungerade}\\>0&k\text{ gerade}\end{cases}$ + (-+-+..) + +TODO: über Eigenwerte + +# Extrema + +Sei $D\subseteq\R^n$ offen, +$f\in\varphi^2(D,\R),\ a\in D,\ \nabla f(a)=0$. + +- $H_f(a)$ positiv definit $\implies$ $a$ Stelle eines lokalen + Minimums. +- $H_f(a)$ negativ definit $\implies$ $a$ Stelle eines lokalen + Maximums. +- $H_f(a)$ indefinit $\implies$ $a$ ist Sattelpunkt +- Ist $H_f(a)$ positiv/negativ semidefinit, so ist keine Aussage + möglich. + +# Taylor + +- Taylorpolynom: $T_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$ +- Satz: $f(x)=T_n(x)+R_n(x)$ + - $R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$ + +# Höhenlinien + +- $f(x,y)=c$ setzen +- nach $y=...$ umformen +- entweder verschiedene $c$ einsetzen oder geg. $N_c(f)$ + +# Implizite Funktionen + +TODO. + +# Umkehrfunktionen + +TODO. + +# Lagrange + +1. Nebenbedingung mit $0$ gleichsetzen +2. Lagrange-Funktion, bspw. + $\mathcal{L}(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda g(x,y)$ mit $g$ + Nebenbedingung +3. Erste partielle Ableitungen der Lagrange Funktion + ($\mathcal{L}_\lambda=g$) +4. Ableitungen mit $0$ gleichsetzen und lösen (Additionsverfahren gut) +5. Mehrere Ergebnisse dann Extrempunkte +6. Definitheit überprüfen (geränderte Matrix TODO?) |