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diff --git a/notes/mathe3/main.md b/notes/mathe3/main.md index f695fbd..2845136 100644 --- a/notes/mathe3/main.md +++ b/notes/mathe3/main.md @@ -544,7 +544,7 @@ Seien $(R, +, \cdot)$ und $(R',\oplus,\odot)$ Ringe. ::: bsp 1. Boolesche Algebra: - $$(\{f,w\}, \texttt{XOR}, 1)\cong ({0,1},\oplus,\odot)$$ + $$(\{f,w\}, \texttt{XOR}, 1)\cong (\{0,1\},\oplus,\odot)$$ $\psi(f)=0,\psi(w)=1$. $\psi$ Isomorphismus, falls Verknüpfungstafeln übereinstimmen `\begin{center}\begin{tabular}{c||c c}\texttt{XOR}&f&w\\\hline f&f&w\\w&w&f\end{tabular}\end{center}`{=tex} @@ -1165,7 +1165,7 @@ beschränkt. $f:D\subseteq\R^n\to\R$ stetig, $D$ kompakt. -$\implies\exists x_\star,x^\star\in D: \underbrace{f(x_\star)}_\mathrm{min}\le f(x)\le f(x^\star)_\mathrm{max}\quad\forall x\in D$ +$\implies\exists x_\star,x^\star\in D: \underbrace{f(x_\star)}_\mathrm{min}\le f(x)\le\underbrace{f(x^\star)}_\mathrm{max}\quad\forall x\in D$ ::: proof ```{=tex} @@ -1257,7 +1257,7 @@ $a=(a_1,...,a_n)^\top\in D$. $$f'(a)^\top=\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1}(a)\\\vdots\\\frac{\partial f}{\partial x_n}(a)\end{pmatrix}=:\nabla f(a)=\grad(f(a))\in\R^n$$ als Gradienten von $f$ in $a$. -## Geometriche Deutung der partiellen Ableitung +## Geometrische Deutung der partiellen Ableitung Sei $f:\R^2\to\R,\ a\in\R^2,\ a=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}$. @@ -1683,11 +1683,12 @@ $D\subseteq\R$ offen, $f:D\to\R$. in jedem Punkt von $D$ partiell differenzierbar ist und alle $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ ($i\in\{1,...,n\}$) auf $D$ stetig sind -- $f$ heißt 2-mal stetig differezierbar ($f\in\mathcal{C}^2(D)$), wenn - $f\in\mathcal{C}^1(D)$ und alle $\frac{\partial f}{\partial x_j}$ - ($j\in\{1,...,n\}$) $\in\mathcal{C}^1(D)$. Die partielle Ableitung - von $\frac{\partial f}{\partial x_j}$ nach $x_k$ wird mit - $\frac{\partial^2f}{\partial x_2\partial x_j}$ bezeichnet (partielle +- $f$ heißt 2-mal stetig differenzierbar ($f\in\mathcal{C}^2(D)$), + wenn $f\in\mathcal{C}^1(D)$ und alle + $\frac{\partial f}{\partial x_j}$ ($j\in\{1,...,n\}$) + $\in\mathcal{C}^1(D)$. Die partielle Ableitung von + $\frac{\partial f}{\partial x_j}$ nach $x_k$ wird mit + $\frac{\partial^2f}{\partial x_k\partial x_j}$ bezeichnet (partielle Ableitung zweiter Ordnung). Für $k=j$ schreibt man kurz $\frac{\partial^2f}{\partial x_j^2}$. - Analog ist $f$ $s$-mal stetig differenzierbar |