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diff --git a/notes/mathe3/main.md b/notes/mathe3/main.md new file mode 100644 index 0000000..2ac7aaa --- /dev/null +++ b/notes/mathe3/main.md @@ -0,0 +1,1893 @@ +--- +author: Marvin Borner +date: "`\\today`{=tex}" +lang: de-DE +pandoc-latex-environment: + bem-box: + - bem + bsp-box: + - bsp + proof-box: + - proof + visu-box: + - visu +toc-title: Inhalt +--- + +```{=tex} +\newpage +``` +# Ergänzungen zur elementaren Zahlentheorie + +## Teiler, Vielfaches + +Sei $a,b\in\Z,\ b\neq0$. $b$ heißt Teiler von $A$ +$(b\mid a) \iff \exists q\in\Z: a= qb.$ + +::: bsp +$$6 \mid 24$$ $$1 \mid 0$$ $$6 \nmid 5$$ +::: + +## Division mit Rest + +Sei $a,b\in\Z,\ b\neq0$. Es gibt eindeitig bestimmbare $q,r\in\Z$ mit + +1. $a = qb + r$ +2. $0 \leq r < |b|.$ + +::: bem +$q$ heißt Quotient, $r$ heißt Rest. +::: + +::: proof +```{=tex} +\begin{proof} +Folgerung aus Fundamentalsatz der Arithmetik. Siehe Mathe 2. +\end{proof} +``` +::: + +::: bsp +1. $a=22$, $b=5$ $$22\pdiv{5}=4,\quad22\pmod{5}=2$$ +2. $a=-22$, $b=5$ $$-22\pdiv{5}=-5,\quad-22\pmod{5}=3$$ +3. Für $a\in\R$ und $b\in\Z$ gilt mit $q\in\Z$ und $r\in\R$ gilt z.B.: + $$a=\frac{8}{3},\ b=1\quad\implies\quad\frac{8}{3} = 2\cdot1+\frac{2}{3}$$ +::: + +## Zyklische Strukturen in Planetenbewegungen + +Für die langfristige Stabilität der Planetenbewegungen sind +Konjunktions- und Oppostionsstellungen von Bedeutung: + +::: visu +```{=tex} +\begin{minipage}{.45\textwidth} +\begin{center}\begin{tikzpicture}[bullet/.style={circle, fill, inner sep=1pt}] +\node[draw=black,inner sep=20mm,circle] {}; +\node[draw=black,inner sep=10mm,circle] {}; +\node[bullet,label=-90:$S$] (0) at (0:0mm) {}; +\node[bullet,label=-120:$P_1$] (1) at (0:14.2mm) {}; +\node[bullet,label=-120:$P_2$] (2) at (0:28.3mm) {}; +\node (a) at (3.3,0) {}; +\node (b) at (2.5,2) {}; +\draw (0)--(1); +\draw (1)--(2); +\draw [->] (a) to [out=90,in=-45] (b); +\end{tikzpicture}\end{center} +Konjunktion der Planeten $P_1, P_2$: Von $P_1,P_2$ geht gemeinsam größt mögliche gravitative Kraft aus. +\end{minipage}% +\hfill% +\begin{minipage}{.45\textwidth} +\begin{center}\begin{tikzpicture}[bullet/.style={circle, fill, inner sep=1pt}] +\node[draw=black,inner sep=20mm,circle] {}; +\node[draw=black,inner sep=10mm,circle] {}; +\node[bullet,label=-90:$S$] (0) at (0:0mm) {}; +\node[bullet,label=-120:$P_1$] (1) at (0:-14.2mm) {}; +\node[bullet,label=-120:$P_2$] (2) at (0:28.3mm) {}; +\node (a) at (3.3,0) {}; +\node (b) at (2.5,2) {}; +\draw (0)--(1); +\draw (1)--(2); +\draw [->] (a) to [out=90,in=-45] (b); +\end{tikzpicture}\end{center} +Opposition von $P_1,P_2$: Die gravitativen Kräfte von $P_1,P_2$ gleichen sich einigermaßen aus. +\end{minipage} +``` +::: + +Saturn und Jupiter sind mit Abstand die beiden massereichsten Planeten +des Sonnensystems. Stehen Jupiter und Saturn in Konjunktion, so +vollzieht sich eine Ausgleichgsbewegung, bei der die Sonne um ihren +eigenen Durchmesser aus dem Baryzentrum wandert. Insgesamt sind die +Konjunktionstermine aller Planeten so verteilt, dass das Sonnensystem +stabil bleibt. + +Betrachte exemplarisch Venus und Erde. Es gilt: +$$8\text{ Erdjahre} \approx 13 \text{ Venusjahre}.$$ Genauer: +$8:13,0042.$ Abweichung von $8:13$ um ca. $0.032%$. Nehme zunächst an, +dass das Verhältnis von $8:13$ exakt ist. In 8 Jahren überholt die Venus +die Erde fünfmal. + +$\implies$ In 8 Jahren finden 5 Konjunktionen zwischen Venus und Erde +statt. + +$\implies$ Findet zum Zeitpunkt $t=0$ eine Konjunktion statt, so findet +nach $\frac{8}{5}=1\frac{3}{5}$ Jahren die nächste Konjunktion statt. In +$\frac{8}{5}$ Erdjahren finden $\frac{13}{5}=2\frac{3}{5}$ Venusjahre +statt. Beide Planeten befinden sich demzufolge bei $\frac{3}{5}$ ihrer +Umlaufbahn: + +::: visu +Positionen der Erde zu Konjunktionsterminen mit Venus (chronologisch +verbunden). + +```{=tex} +\begin{center}\begin{tikzpicture}[bullet/.style={circle, fill, inner sep=1pt}] + \foreach \lab [count=\c, evaluate=\c as \ang using {18+72*\c}] + in {0,\frac{4}{5},\frac{3}{5},\frac{2}{5},\frac{1}{5}} { + \node[bullet] (\c) at (\ang:20mm) {}; + \node at (\ang:23mm){$\lab$}; + } + \draw(1)--(4); + \draw(4)--(2); + \draw(2)--(5); + \draw(5)--(3); + \draw(3)--(1); + \node[draw=black,inner sep=14.2mm,circle] {}; +\end{tikzpicture}\end{center} +``` +$$0 \xrightarrow{+\frac{8}{5}\pmod{1}} \frac{3}{5} \xrightarrow{+\frac{8}{5}\pmod{1}} \frac{1}{5} \xrightarrow{+\frac{8}{5}\pmod{1}} \frac{4}{5} \xrightarrow{+\frac{8}{5}\pmod{1}} \frac{2}{5} \xrightarrow{+\frac{8}{5}\pmod{1}} 0$$ +::: + +Man kann bei allen Zahlen den Nenner weglassen und stattdessen mod 5 +rechnen. Es ist außerdem $8\equiv3\pmod{5}.$ + +$$0 \xrightarrow{+3\pmod{5}} 3 \xrightarrow{+3\pmod{5}} 1 \xrightarrow{+3\pmod{5}} 4 \xrightarrow{+3\pmod{5}} 2 \xrightarrow{+3\pmod{5}} 0$$ + +Die Abfolge der Konjunktion wird demnach durch die zyklische Gruppe +$\braket{3}$ beschrieben, $3\in(\Z_5, \oplus)$, vgl. Mathe 2. + +::: bem +Das Pentagramm entstünde bei einem exakten Verhältnis von $8:13$. +Tatsächliche Figur: +`\begin{center}\includegraphics[scale=.2]{saturnearth.png}\end{center}`{=tex} +::: + +## Größte/kleinste gemeinsame Teiler + +Seien $a_1,...,a_r\in\Z$. + +1. Ist mindestens ein $a_i\neq0$, so ist der größte gemeinsame Teiler + die größte natürliche Zahl, die alle $a_i$ teilt. Schreibweise: + $\ggT(a_1,...,a_r)$ +2. Sind alle $a_i\neq0$, so ist das kleinste gemeinsame Vielfache die + kleinste natürliche Zahl, die von allen $a_i$ geteilt wird. + Schreibweise: $\kgV(a_1,...,a_r)$. +3. Ist $\ggT(a_1,...,a_r)=1$, so heißen $a_1,...,a_r$ teilerfremd. Ist + $\ggT(a_i,a_j)=1\ \forall i\neq j$, so heißen $a_1,...,a_r$ + paarweise teilerfremd. + +::: bsp +Im 3. Punkt stärkere Bedingung: $\ggT(3,7,9)=1$, aber $\ggT(3,9)=3$ +::: + +## Euklidischer Algorithmus zur Berechnung des ggT + +### Herleitung + +::: proof +```{=tex} +\toprove Seien $q,v,w\in\Z,\ v\neq0$. Dann: $$t\mid v \land t\mid w \iff t \mid v \land t \mid qv + w$$ + +\begin{proof} +Der vorigen Aussage. +\begin{align*} +\implies:\quad & t\mid v \land t\mid w \implies \exists k_1,k_2\in\Z: v = tk_1,\ w=k_2t\\ +&\implies qv + w = qtk1 + tk_2 = t(\underbrace{qk_1 + k_2}_{\in\Z}) \implies t\mid qv+w\\ +\impliedby:\quad & t\mid v \land t\mid qv+w \implies \exists k_1,k_2\in\Z: v = k_1t,\ qv+w=k_2t\\ +&\implies w = k_2t - qv = t(\smash{\underbrace{k_2-qk_1}_{\in\Z}}) \implies t\mid w +\end{align*} +\end{proof} +``` +::: + +Es folgt $\ggT(v,w) = \ggT(v,q+v+w)$. damit lässt sich der euklidische +Algorithmus formulieren. Seien $a,b\in\Z,\ b\neq0,\ b\nmid a$. +**Frage**: Wie findet man $\ggT(a,b)$? + +**Idee**: Verwende Division mit Rest und +`\begin{alignat*}{2}a_0 &= a, a_1 = b&&\\a_0 &= q_1a_1 + a_2\qquad&&|a_2|<|a_1|\\a_1 &= q_2a_2 + a_3\qquad&&|a_3|<|a_2|\\&\vdots&&\\a_{n-1} &= q_na_n + \underbrace{0}_{\mathclap{\text{erstmals Rest 0}}}\qquad&&|a_n|<|a_{n-1}|\end{alignat*}`{=tex} +Es folgt: +`\begin{align*} \ggT(a,b) &= \ggT(a_1,a_0) = \ggT(a_1,q_1a_1+a_2)\\ &= \ggT(a_1,a_2) = \ggT(a_2,\smash{\underbrace{q_2a_2+a_3}_{=a_1}})\\ &= \ggT(a_2,a_3)\\ &\quad\vdots\\ &= \ggT(\underbrace{a_{n-1}}_{q_na_n}, a_n) = a_n\end{align*}`{=tex} + +## Euklidischer Algorithmus + +```{=tex} +\begin{lstlisting} +Eingabe: $a,b\in\Z$, nicht beide =0 +if b=0 then y=|a| endif +if b|a then y=|b| endif +if b$\neq$0 and $b\nmid a$ then + x = a, y = b + while (x mod y)$\neq$0 do + r=(x mod y), x=y, y=r + endwhile +endif +Ausgabe: y (=ggT(a,b)) +\end{lstlisting} +``` +::: bsp +EA mit $a=48$ und $b=-30$: + + x y r + ----- ------- ---- + 48 -30 18 + -30 18 6 + 18 **6** 0 + +Damit ist der größte gemeinsame Teiler mit 6 gefunden. +::: + +## Satz von Méziriac + +$a,b\in\Z$, nicht beide $=0 \implies \exists s,t\in\Z:\ggT(a,b)=sa+tb$ + +::: proof +```{=tex} +\begin{proof} +\begin{align*} +b = 0:\quad&\ggT(a,b) = |a| = sa+0b,\quad s=\mathrm{sgn}(a)\\ +b\ne0,\ b\mid a:\quad&\ggT(a,b)=|b|=0a+tb,\quad t=\mathrm{sgn}(b)\\ +b\ne0,\ b\nmid a:\quad&a_0:=a,a_1:=b\implies\mathrm{EA}\implies\ggT(a,b)=a_n,\quad n\ge2\\ +&\text{Zeige mit vollst. Induktion: }\exists s_j,t_j\in\Z: a_j=s_ja_0+t_ja_1\quad\forall j=0,..,n +\end{align*} +\end{proof} +``` +::: + +## Erweiterter Euklidischer Algorithmus (EEA) + +Dient der Berechnung von $s,t$ im *Satz des Méziriac*. + +```{=tex} +\begin{lstlisting} +Eingabe: $a,b\in\Z$, nicht beide $=0$ +if b=0 then y=|a|, t=0 + if a>0 then s=1 else s=-1 endif +endif +if b$\mid$a then y=|b|, s=0 + if b>0 then t=1 else t=-1 endif +endif +if b$\ne$0 and b$\nmid$a then x=a, y=b + $s_1$=1, $s_2$=0 + $t_1$=0, $t_2$=1 + while (x mod y)$\ne$0 do + q=(x div y), r=(x mod y) + s=($s_1$-q$s_2$), t=$t_1$-q$t_2$ + $s_1$=$s_2$, $s_2$=s + $t_1$=$t_2$, $t_2$=t + x=y, y=r + endwhile +endif +Ausgabe y (=ggT(a,b)), s,t (y=sa+tb) +\end{lstlisting} +``` +::: bsp +$a=48$, $b=-30$ + + $x$ $y$ $s_1$ $s_2$ $s$ $t_1$ $t_2$ $t$ $q$ $r$ + ----- ----- ------- ------- ----- ------- ------- ----- ----- ----- + 48 -30 1 0 / 0 1 / / / + -30 18 0 1 1 1 1 1 -1 18 + 18 6 / / 2 / / 3 -2 6 + +$\implies\ggT(48,-30)=6=2\cdot48+4\cdot(-30)$ +::: + +::: bem +Darstellung des ggT nicht eindeutig, z.B. ist auch +$\ggT(48,-38)=6=7\cdot48+11\cdot(-30)$ +::: + +## Die Gruppe $(\Z_n^*, \odot)$ + +Ist $(\Z_n^*, \odot)$ eine Gruppe? $(\Z_n,\odot)$ + +- ist abgeschlossen: $a,b\in\Z_n\implies a\odot b\in\Z_n$ +- ist assoziativ +- besitzt Neutralelement: $a\odot1=1\odot a=a\quad\forall a\in\Z_n$ +- enthält im Allgemeinen keine Inversen, z.B. hat $0$ keine Inverse + +**Welche Elemente haben Inversen?** + +::: bsp +$5\in\Z_{10}$ hat keine Inverse, da +$t\cdot x\pmod{10}=\begin{cases}0&x\text{ gerade}\\5&x\text{ ungerade}\end{cases}$, +d.h. $5\odot x\ne1\quad\forall x\in\Z_{10}$ + +Dagegen hat $3\in\Z_{10}$ Inverse $x=7$. +::: + +**Aus Mathe 2**: $a\in\Z_n$ invertierbar $\iff \ggT(a,n)=1$ + +Es ist $Z_n^*=\{a\in\Z_n\mid\ggT(a,n)=1\}$ die Menge aller +invertierbaren Elemente in $\Z_n$ und ist bezüglich $\odot$ eine Gruppe. +$\varphi(n)=|\Z_n^*|$ heißt Eulersche Phi-Funktion. + +Berechnung von $a^{-1}\in\Z_n$: Wegen EEA gibt es +$s,t\in\Z: sa+tn=1 \implies sa\equiv1\pmod{n} \implies a^{-1}\equiv s\pmod{n}$ + +::: bsp +Inverse von $5\in\Z_{21}$ durch EEA: $(-4)\cdot5 + 1\cdot21=1$ + +$\implies 5^{-1}\equiv-4\equiv17\pmod{21}$ +::: + +Falls man $s,t\in\Z$ nicht unmittelbar sieht: EEA. + +### Korollar + +$a,b\in\Z$, nicht beide $=0,\ c\in\Z$ + +1. $\ggT(a,b)=1 \iff \exists s,t\in\Z: sa+tb = 1$ +2. $\ggT(a,b)=1 \implies \text{falls } a\mid bc$, dann $a\mid c$ + +::: proof +```{=tex} +\begin{proof} +In beide Richtungen: +\begin{itemize} + \item \enquote{$\implies$}:\quad Gelte $sa+tb=1$. Annahme: $\ggT(a,b)>1$\\$d:=\ggT(a,b)\implies d\mid a,\quad d\mid b$ $\implies \exists k_1,k_2\in\Z:a=k_1d,\ b=k_2d$ $\implies sa+tb=d(sk_1+tk_2)\ne1$, da $d>1\ \lightning$, also $d=1$ + \item \enquote{$\impliedby$}:\quad $\exists s,t\in\Z: 1=sa+tb\implies c=sac+tbc$, also $a\mid a$ und $a\mid bc$ $\implies a\mid(\underbrace{sac+tbc}_{=c})$ +\end{itemize} +\end{proof} +``` +::: + +## Primzahlen + +$p\in\N,\ p\ge2$ heißt Primzahl, wenn $1$ und $p$ die einzigen +gemeinsamen Teiler von $p$ sind, d.h. +$\ggT(k,p)=1\quad\forall k\in\{1,...,p-1\}$ + +### Lemma von Euklid + +Sei $p\in\P,\ a_1,...,a_k\in\Z$. + +$p\mid a_1,...,a_n \implies \exists j\in\{1,...,k\}: p\mid a_j$ + +Gegenbeispiel: $6$ keine Primzahl: $6\mid3\cdot4$, aber +$6\nmid3\land6\nmid4$ + +::: proof +```{=tex} +\begin{proof} +Durch vollständige Induktion über $k$: + +IA: $k=1: p\mid a_1\implies p\mid a_1$ + +IV: Lemma gelte für $k-1$ beliebige, ganzzahlige Faktoren + +IS: $k-1\to k$: \toprove Lemma gilt für $k$ Faktoren $a_1,...,a_k$. + +Fallunterscheidung: +\begin{align*} +p\mid a_k:\quad&\implies\text{fertig}\\ +p\nmid a_k:\quad&\implies\ggT(g,a_k)=1\text{, da } p\in\P\\ +&\implies p\mid a_1,...,a_{k-1}\\ +&\implies \exists j\in\{1,...,k-1\}:p\mid a_j +\end{align*} +\end{proof} +``` +::: + +## Fundamentalsatz der elementaren Zahlentheorie + +Zu jeder natürlichen Zahl $n\ge2$ gibt es endlich viele paarweise +verschiedene Primzahlen $p_1,...,p_k$ und natürliche Zahlen +$e_1,...,e_k$ mit $$n = p_1^{e_1} \cdot ... \cdot p_k^{e_k}.$$ Die $p_i$ +heißen Primfaktoren von $n$. Die Darstellung von $n$ als Produkt von +Primzahlen ist bis auf die Reihenfolge eindeutig. + +::: proof +```{=tex} +\begin{proof} +~\\ +\begin{itemize} +\item \textbf{Existenz:} Durch vollständige Induktion. +\begin{align*} + \text{IA:}\quad&n=2\in\P\\ + \text{IV:}\quad&\text{Aussage gelte für }2,...,n\\ + \text{IS:}\quad&2,3,...,n\to n+1: \toprove\text{Aussage gilt dann auch für $n+1$}\\ + &\text{Ist }n+1\in\P\implies\text{fertig.}\\ + &\text{Ist }n+1\notin\P\implies n+1=a\cdot b,\quad a,b\in\{2,...,n\}\\ + &\implies a,b\text{ Produkte von Primfaktoren} +\end{align*} +\item \textbf{Eindeutigkeit:} Sei $n\ge2$. +\begin{rom} + \item Falls $n\in\P:\quad$Behauptung erfüllt. + \item Falls $n\notin\P:\quad$sei $n$ die kleinste natürliche Zahl mit $2$ verschiedenen Zerlegungen $n=p_1^{e_1}\cdot...\cdot p_k^{e_k}=q_1^{f_1}\cdot...\cdot q_e^{f_e}$\\ + \toprove$\{p_1,...,p_k\}\cap\{q_1,...,q_e\}=\emptyset$\\ + Angenommen nicht: O.B.d.a. $p_1=q_1$\\ + $\frac{n}{p_1}<n\text{ und }\frac{n}{p_1}$ hat $2$ verschiedene Zerlegungen $\lightning$ + \item $p_1\mid q_1^{f_1},...,q_e^{f_e} \implies \exists j\in\{1,...,k\}: p_i\mid q_j \implies p_1=q_j\text{, da }p_1\ne1\land q_j\in\P\lightning$ +\end{rom} +\end{itemize} +\end{proof} +``` +::: + +## Euklid + +Es gibt unendlich viele Primzahlen. + +::: proof +```{=tex} +\begin{proof} +Angenommen es gibt nur endlich viele Primzahlen +$p_1,...,p_n$. Sei $a=p_1\cdot...\cdot p_n+1$ + +$\implies\exists q\in\P: q\mid a$ + +$\implies q=p_i$ für ein $i\in\{1,...,n\}$ + +$\implies q\mid (\underbrace{a-p_1,...,p_n}_1)$ $\lightning$ (da +$q>1$) +\end{proof} +``` +::: + +## Chinesischer Restsatz + +Gegeben: $m_1,...,m_n\in\N,\quad a\in\Z$ und $M=m_1\cdot...\cdot m_n.$ +Dann: +$(\underbrace{a\pmod{M}}_{=r})\pmod{m_i}=a\pmod{m_i}\quad\forall i$ + +::: proof +```{=tex} +\begin{proof} +\toprove $r\equiv a\pmod{m_i}$. + +Division mit Rest: $\exists q\in\Z: a=qM+r=q\underbrace{\left(\frac{M}{m_i}\right)}_{\in\Z}m_i + r$ + +$\implies a\equiv r\pmod{m_i}$ +\end{proof} +``` +::: + +Gegeben: + +- $m_1,...,m_n\in\N$ paarweise teilerfremd, +- $M=m_1\cdot...\cdot m_n$ +- $a_1,...,a_n\in\Z$ + +Dann existiert $0\leq x<M$ mit *simultaner Kongruenz* +$$x\equiv\begin{cases}a_1\pmod{m_1}\\\vdots\\a_n\pmod{m_n}\end{cases}$$ + +::: proof +```{=tex} +\begin{proof} +Setze $M_i:=\frac{M}{m_i}\in\Z\implies\ggT(m_i,M_i)=1\quad\forall i=1,...,n$ + +$\implies \exists s_i,t_i\in\Z: s_i\cdot m_i + t_iM_i = 1$ + +Setze $e_i:=t_iM_i\implies e_i\equiv\begin{cases}0\pmod{m_j}&j\ne i\\1\pmod{m_i}\end{cases}$ + +$\implies x = \left(\sum_{i=1}^n a_ie_i\right)\pmod{M}$ Lösung, da: + +\begin{align*} +x\pmod{m_j} &= \left(\left(\sum_{i=1}^n a_ie_i\right)\pmod{M}\right)\pmod{m_j}\\ +&= \left(\sum_{i=1}^n a_ie_i\right)\pmod{m_j}\\ +&= a_j \pmod{m_j} +\end{align*} +\end{proof} +``` +::: + +::: bsp +1. Finde $0\leq x<M$ mit $m_1=3,\ m_2=4,\ m_3=5\implies M=60$. + $M_1=\frac{M}{m_1}=20,\ M_2=\frac{60}{4}=15,\ M_3=\frac{60}{5}=12\\$**EEA**:`\begin{align*}7\cdot 3-20&=1\\4\cdot4-15&=1\\5\cdot5-2\cdot12&=1\end{align*}`{=tex} + $x=(2\cdot(-20)+3\cdot(-15)+2\cdot(-24))\pmod{60}=47$ +2. Was ist $2^{1000}\pmod{1155}$? Primfaktorzerlegung: + $1155=3\cdot5\cdot7\cdot11$ + 1. Berechne $2^{1000}\pmod{3,5,7,11}$: + - $2^{1000}\pmod{3}=(-1)^{1000}\pmod{3}=1$ + - $2^{1000}\pmod{5}=4^{500}\pmod{5}=(-1)^{500}\pmod{5}=1$ + - $2^{1000}\pmod{7}=(8^{333}\cdot2)\pmod{7}=2$ + - $2^{1000}\pmod{11}=(2^5)^{200}\pmod{11}=1$ + 2. Suche $0\leq x<1155$ mit + $$x\equiv\begin{cases}1\pmod{3}\\1\pmod{5}\\2\pmod{7}\\1\pmod{11}\end{cases}$$ + Chinesischer Restsatz liefert $x=331$ +::: + +Die Lösung $x$ aus vorigem Beispiel ist eindeutig. + +::: proof +```{=tex} +\begin{proof} +Betrachte die Abbildung $\psi: \Z_M\to(\Z_{m_1}\times...\times\Z_{m_n})$, $x\mapsto(x\pmod{m_1},...,x\pmod{m_n})$. Der chinesische Restsatz besagt: Für jedes $n$-Tupel $(a_1,...,a_n)\in\Z_{m_1}\times...\times\Z_{m_n}$ gibt es ein $x\in\Z_M$ mit $\psi(x)=(a_1,...,a_n)$. + +$\implies\psi$ ist surjektiv. + +\toprove $\psi$ bijektiv, d.h. es gibt nur genau ein $x$, mit $\psi(x)=(a_1,,,.,a_n),\quad x\in\Z_M$. Da $M=m_1\cdot...\cdot m_n$ ist $|\Z_M|=|\Z_{m_1}\times...\times\Z_{m_n}|$ + +$\implies$ Jedes Element von $\Z_{m_1}\times...\times\Z_{m_n}$ wird nur von genau einem $x$ getroffen + +$\implies \psi$ bijektiv +\end{proof} +``` +::: + +::: bsp +Aus *Meister Suns Rechenhandbuch* von Sun Zi Suan Jing: + +"Es gibt eine unbekannte Zahl von Dingen. Wenn mit drei gezählt wird, +haben sie einen Rest von zwei; wird mit fünf gezählt, einen Rest von +drei, mit sieben einen Rest von zwei. Rate die Zahl." + +Formal: Suche $x$ mit +$$x\equiv\begin{cases}2\pmod{3}\\3\pmod{5}\\2\pmod{7}\end{cases}$$ + +TU DU! +::: + +## Strukturgleichheit von Ringen + +Seien $(R, +, \cdot)$ und $(R',\oplus,\odot)$ Ringe. + +1. $\psi: R\to R'$ heißt (Ring-)Homomorphismus, falls + $\forall x,y\in R$ gilt $$\psi(x+y)=\psi(x)\oplus\psi(y)$$ + $$\psi(x\cdot y)=\psi(x)\odot\psi(y)$$ +2. Wenn $\psi$ bijektiv, heißt $\psi$ (Ring-)Isomorphismus. In diesem + Fall heißen $R,R'$ isomorph (d.h. sie sind strukturgleich). Man + schreibt $R\cong R'$. + +::: bsp +1. Boolesche Algebra: + $$(\{f,w\}, \texttt{XOR}, 1)\cong ({0,1},\oplus,\odot)$$ + $\psi(f)=0,\psi(w)=1$. $\psi$ Isomorphismus, falls + Verknüpfungstafeln übereinstimmen + `\begin{center}\begin{tabular}{c||c c}\texttt{XOR}&f&w\\\hline f&f&w\\w&w&f\end{tabular}\end{center}`{=tex} + bzw. + `\begin{center}\begin{tabular}{c||c c}$\oplus$&0&1\\\hline0&0&1\\1&1&0\end{tabular}\end{center}`{=tex} +2. Homomorphismus: + $$\psi(\Z,+,\cdot)\to(\Z_n,\oplus,\odot),\quad x\mapsto x\pmod{n}$$ +::: + +::: bem +Seien $(R,+,\cdot)$ und $(R',\oplus, \odot)$ Ringe und $\psi:R\to R'$ +ein Isomorphismus. + +1. $\psi(1)$ ist Eins in $R'$: $\forall a\in R$, d.h. $\psi(a)\in R'$ + gilt: + $$\psi(1)\odot\psi(a)=\psi(1\cdot a)=\psi(a)=\psi(a\cdot1)=\psi(a)\odot\psi(1).$$ +2. $a\in R$ invertierbar $\iff\psi(a)\in R'$ invertierbar. + `\begin{align*}a\in R\text{ invertierbar}&\iff\exists b\in R: ab=1\\&\iff\psi(ab)=\psi(1)\\&\iff\psi(a)\odot\psi(b)=\psi(1)\\&\iff\psi(a)\text{ invertierbar}\end{align*}`{=tex} +::: + +## Berechnung der Eulerschen $\varphi$-Funktion + +Über chinesischen Restsatz. + +$M=m_1\cdot...\cdot m_n,\quad m_i\in\N$ paarweise teilerfremd. + +$\implies \varphi(M)=\varphi(m_1)\cdot...\cdot\varphi(m_n)$ + +Insbesondere durch Primfaktorzerlegung: +$M=p_1^{a_1}\cdot...\cdot p_k^{a_k}$ + +$\implies\varphi(M)=(p_1-1)p_1^{a_1-1}\cdot...\cdot(p_k-1)p_k^{a_k-1}$ + +::: proof +```{=tex} +\begin{proof} +Es gilt $Z_M\cong Z_{m_1}\times...\times Z_{m_n}$ mittels $\psi$ aus voriger Bemerkung. Dann gilt +\begin{align*} + x\in\Z_M\text{ invertierbar}&\iff\psi(x)=(x\bmod{m_1},...,x\bmod{m_n})\text{ invertierbar}\\ + &\iff x\bmod{m_i}\text{ invertierbar},\quad\forall i\in\{1,...,n\} +\end{align*} +$\implies\varphi(M)=\varphi(m_1)\cdot...\cdot\varphi(m_n)$ + +Angenommen $M=p_1^{a_1}\cdot...\cdot p_k^{a_k}$ ist Primfaktorzerlegung. Es genügt zu zeigen, dass mit $p\in\P$ gilt $\varphi(p^a)=(p-1)p^{a-1}=p^a-p^{a-1}$. $\Z_{p^a}$ enthält $p^a$ Elemente. Dabei sind die Elemente $kp$ für $0\le k\le p^{a-1}-1$ nicht teilerfremd zu $p^a$. Davon gibt es $p^{a-1}$ Stück. +\end{proof} +``` +::: + +::: bsp +$\varphi(100)=\varphi(4\cdot5^2)=\varphi(4)\cdot\varphi(5^2)=2\cdot(5-1)\cdot5^{2-1}=40$ +::: + +## Euklidischer Algorithmus in Polynomringen über einem Körper $K$ + +### $\ggT$ und $\kgV$ in $K[x]$ + +1. $f,g\in K[x],\ f\ne0,\ f\mid g \iff \exists q\in K[x]: g=qf\\\text{Gradformel}\implies\grad(f)\le\grad(g),\ \text{falls }g\ne 0$ +2. $f=\sum_{i=1}^na_ix^i\in K[x]$ heißt *normiert*, falls der + Leitkoeffizient $a_n=1$. +3. $g,h\in K[x]$, beide $=0$, $f=\ggT(g,h)$ falls $f$ *normiertes* + Polynom von maximalem Grad, das $g$ und $h$ teilt. +4. $g,h\in K[x]\setminus\{0\}$, $f=\kgV(g,h)$, falls $f$ *normiertes* + Polynom von minimalem Grad, das von $g$ und $h$ geteilt wird. + +::: bem +Sei $f=\sum_{i=1}^na_ix^i$, $a_n\ne0$. Dann ist $a_n^{-1}\cdot f$ +normiert, z.B. $f=3x^2+x+7$ + +- $f\in\R[x]: \frac{1}{3}f=x^2+\frac{x}{3}+\frac{7}{3}$ +- $f\in\Z_{11}[x]: 4f=x^2+4x+6$ +::: + +In $K[x]$ kann der $\ggT$ zweier Polynome mit einer Rekursionsvorschrift +analog zu $\ggT$ in $\Z$ berechnet werden. Man verwendet dazu +Polynomdivision mit Rest (siehe Mathe 2). + +### Satz von Bézout + +Analog zum Satz von Méziriac gilt: $g,h\in K[x]$, nicht beide $=0$ +$\implies\exists s,t\in K[x]$: $\ggT(g,h)=sg+th$. + +### EEA in K\[x\] + +Wie in $(\Z,+,\cdot)$ kann auch für $(K[x],+,\cdot)$ der EEA formuliert +werden, um $s,t$ im Satz des Bézout zu berechnen. Damit kann jener Satz +auch für $K[x]$ bewiesen werden. + +::: bsp +Seien $g=x^4+x^3+2x^2+1$ und $k=x^3+2x^2+2$ in $\Z_3[x]$ + + $x$ $y$ $s_1$ $s_2$ $s$ $t_1$ $t_2$ $t$ $q$ $r$ + --------- --------- ------- ------- -------- ------- -------- -------- ------- --------- + g h 1 0 / 0 1 / / / + h $x^2+x$ 0 1 1 1 $2x+2$ $2x+1$ $x+2$ $x^2+x$ + $x^2+x$ $2x+2$ / / $2x+2$ / / $x^2$ $x+1$ $2x+2$ + +Normieren: $\ggT(g,h)=2^{-1}(2x+2)=x+1$ + +$$s=2^{-1}(2x+2)=x+1$$ $$t=2^{-1}(x^2)=2x^2$$ +::: + +::: bem +Sowohl in $\Z$ als auch in $K[x]$ müssen eigentlich Existenz und +Eindeutigkeit der $\ggT$ und $\kgV$ gezeigt werden. Beweise trivial +offensichtlich. $\wtf$ +::: + +## Primelemente in $K[x]$ + +```{=tex} +\begin{center}\textit{Primelemente sind irreduzible Polynome.}\end{center} +``` +$p\in K[x]$ mit $\grad\ge1$ irreduzibel $\iff f,g\in K[x]$ mit +$p=f\cdot g\implies \grad(f)=0\lor\grad(g)=0$ + +::: bsp +1. $ax+b,\ a\ne0$ irreduzibel in $K[x]$ +2. $x^2-2\in\Q[x]$ irreduzibel, aber in $\R[x]$ reduzibel +3. $x^2+1\in\R[x]$ irreduzibel, aber in $\Z_5[x]$ reduzibel +::: + +### Lemma von Euklid in $K[x]$ + +$f\in K[x]$, $\grad(f)\ge1$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: + +1. $f$ irreduzibel +2. $g,h\in K[x]$, $f\mid g\cdot h\implies f\mid g\lor f\mid h$ + +::: proof +```{=tex} +\begin{proof} +~\\ +\begin{itemize} +\item (1) $\implies$ (2): Analog zu Lemma von Euklid in $\Z$. +\item (2) $\implies$ (1): Angenommen es existiert Polynom $g$ mit $g\mid f$.\\$\implies\exists g,h\in K[x]: f=gh$. Wir zeigen: $\grad(h)=0$ (d.h. $f$ irreduzibel). $f=gh\implies f\mid g\lor f\mid h$. O.B.d.A. $f\mid g$. $\grad(f)\le\grad(g)\le\grad(g)+\grad(h)=\grad(g\cdot h)=\grad(f)\\\implies\grad(h)=0,\ \grad(f)=\grad(g)$ +\end{itemize} +\end{proof} +``` +::: + +::: bem +Für $\Z$ gilt (2) $\implies$ (1) ebenfalls. Anstatt der Gradformel im +vorigen Beweis schreibt man für +$f,g,h\in\Z,\ f\ge2: 2\le f\le|g|\le gh=f\implies f=|g|\land|h|=1\implies f\in\P$. +::: + +## Primfaktorzerlegung in $K[x]$ + +Sei $f\in K[x]$ mit Leitkoeffizient $a_n\ne0,n\ge1$. Dann: Es gibt +eindeutige irreduzible Polynome $p_1,...,p_e\in K[x]$ und +$m_1,...,m_l\in\N$ mit $f=a_np_1^{m_1}\cdot...\cdot p_e^{m_e}$. + +## Korollar + +$f\in K[x]$, $\grad(f)=n\ge1$. Dann: + +1. $f$ hat max. $n$ Nullstellen $a_1,...,a_k\in K$. +2. $f=(x-a_1)\cdot...\cdot(x-a_k)\cdot \bar{f}$ mit + $\grad(\bar{f})=\grad(f-k)$. + +::: proof +```{=tex} +\begin{proof} +~\\ +\begin{itemize} +\item $n=1$: $f=ax+b$ hat Nullstelle $-a^{-1}b$. +\item $n>1$: Hat $f$ keine Nullstelle $\implies$ fertig. + +Sonst: Sei $a\in K$ Nullstelle $\implies f=(x-a)\cdot g,\ \grad(g)=n-1$. + +Sei $b\in K$ weitere Nullstelle, $b\ne a$: $\implies (x-b)\mid(x-a)\cdot g\implies (x-b)\mid g$, da $(x-b)$ irreduzibel. + +$\implies b$ Nullstelle von $g$. Per Induktion hat $g$ maximal $n-1$ Nullstellen. +\end{itemize} +\end{proof} +``` +::: + +::: bem +$(\Z_n,\oplus,\odot)$ Körper $\iff n\in\P$. Analog in $K[x]$: Sei +$f\in K[x],\ \grad(f)=n$. Dann ist $(K[x]_n,+,\odot_f)$ mit + +- $K[x]_n=\{g\in K[x]\mid\grad(g)<n\}$ +- $g\odot_f h := g\cdot h\pmod{f}$ + +ein kommutativer Ring mit Eins. + +Invertierbare Elemente bezüglich $\odot_f$: +$K[x]_n^*:=\{g\in K[x]_n\mid\ggT(g,f)=1\}$ (Beweis wie für $\Z_n^*$). Es +folgt $\exists s,t\in K[x]: sg+tf=1\implies s\cdot g\equiv1\pmod{f}$ und +$g^{-1}\equiv s\pmod{f}$. Damit erhält man $(K[x]_n,+,\odot_f)$ Körper +$\iff f$ irreduzibel. + +Für $K=\Z_p$ lässt sich zeigen: + +1. $\Z_p[x]_n$ Körper der Ordnung $p^n\iff f$ irreduzibel, $p\in\P$ +2. Jeder endliche Körper hat Primzahlpotenzordnung und ist durch seine + Ordnung bis auf Isomorphie eindeutig festgelegt. +::: + +## Anwendungsbeispiel aus der Kryptologie + +Die ältesten Verfahren zur Verschlüsselung von Nachrichten sind +symmetrisch, d.h. Sender und Empfänger verwenden denselben Schlüssel zur +Ver- und Entschlüsselung einer Nachricht (z.B. Cäsar-Chiffre, ENIGMA, +...). Problem: Sender und Empfänger müssen Schlüssel auf sicherem Weg +austauschen. + +Zur Lösung des Problems wurden asymmetrische Verfahren entwickelt, bei +denen kein Schlüssel getauscht werden muss (z.B. public-key-Verfahren, +Diffie-Hellman, ...): + +- Bob will Nachricht empfangen. Er erzeugt 2 Schlüssel: + - public key, wird veröffentlicht + - private key, geheim +- Alice verschlüsselt Nachricht an Bob mit public key +- Bob entschlüsselt mit private key + +Eine der wichtigsten Realisationen: RSA-Verfahren. Verwende dazu +Einwegfunktionen, d.h. Funktionen, die praktisch unmöglich umzukehren +sind. Kanditaten dafür sind Potenzfunktionen in $\Z_n$, wobei +$n=pq,\ p,q\in\P$: $x^e\pmod{n}$. + +- Es ist praktisch unmöglich, $n$ zu faktorisieren, wenn $n$ sehr + groß: Angenommen $n$ ist 2000-Bit-Zahl und angenommen pro Sekunde + kann man bei $10^9$ Zahlen testen, ob sie teilerfremd zu $n$ sind. + Dazu bräuchte man + $$\frac{2^{1000}}{10^9}s=\frac{(2^{10})^{100}s}{(10^3)^3}\approx10^{291}s\approx3\cdot10^{285}\text{ Jahre}.$$ + Faktorisierung von $n\approx2^{1000}$ mit schnellsten Rechnern der + Welt derzeit mehr als $10^{100}$ Jahre. +- Wurzelziehen in $\Z_n$ schwierig. Z.B. $x^3\pmod{7}=6\implies x=3$. +- Man kann zeigen: Wählt man $e$ teilerfremd zu + $\varphi(n)=(p-1)(q-1)$, so ist $x^e\pmod{n}$ bijektiv. +- Es gibt eine geheime Zahl $d$, mit der die Operation umgekehrt + werden kann. Eine solche Einwegfaktorisierung heißt + Trapdoorfunktion. + +## RSA-Verfahren + +Bob (Schlüsselerzeugung) + +1. wählt zwei große $p,q\in\P: p\ne q$ und bildet $n=pq$ +2. berechnet $\varphi(n)=(p-1)(q-1)$ +3. wählt $e$ teilerfremd zu $\varphi(n)$ +4. bestimmt $0<d<\varphi(n)$ mit $e\cdot d\pmod{\varphi(n)}=1$. + Verwendet dazu EEA: $ed\pmod{\varphi(n)}$ +5. Public key: $(e,n)$. Private key: d + +Alice (Verschlüsselung) + +1. kodiert Nachricht als Zahl und zerlegt sie anschließend in Blöcke + gleicher Länge, sodass jeder Block $m_i$ als Zahl $0\le m_i<n$ ist. + Blöcke werden einzeln verschlüsselt. Sei $m$ ein solcher Block. +2. berechnet $c=m^e\pmod{n}$ +3. sendet $c$ an Bob. + +Bob (Entschlüsselung) + +1. berechnet $c^d\pmod{n}=m$ für alle Blöcke + +### Korrektheit des Verfahrens: + +::: proof +`\toprove`{=tex}$c^d\pmod{n}=m$. Daraus folgt insbesondere, dass die +Faktorisierung $m^e\pmod{n}$ bijektiv ist und Nachrichten korrekt +entschlüsselt werden können. +$$c^d\equiv (m^e)^d\equiv m^{ed}\equiv m^{k\varphi(n)+1}\equiv m(m^{\varphi(n)})^k\pmod{n}$$ + +```{=tex} +\begin{proof} +Durch Fallunterscheidung: +\begin{num} + \item Fall: $m=0\iff c=0$, d.h. 0 wird durch 0 verschlüsselt. + \item Fall: $\ggT(m,n)=1\implies m^{\varphi(n)}\equiv1\pmod{n}\implies c^d\equiv m\pmod{n}$ + \item Fall $p\mid m$ und $m\ne0\implies m=ap,\ a\in\{1,...,q-1\}\implies \ggT(q,m^j)=1\forall j\in\N$, insbesondere für $j=\varphi(n)\implies m\pmod{p}=0\land m^{\varphi(n)\pmod{q}}=1$. Chinesischer Restsatz: $m_1=p,M_1=q,m_2=q,M_2=p$. EEA: $\exists s,t\in\Z:sp+tq=1\implies c^d\equiv tqm+spm\equiv(tq+sp)m\pmod{n}$ + \item Fall: $q\mid m$ und $m\ne0$ analog zu Fall 3. +\end{num} +\end{proof} +``` +::: + +::: bsp +Gegeben $(n,e)=(33,3)$ public key + +1. Verschlüsseln Sie die Nachricht $m=6$.`\newline`{=tex} + $c=m^e\pmod{n}=6^3\pmod{33}=3\cdot 6=18$ +2. Faktorisieren Sie $n=33$, berechnen Sie $\varphi(n)$ und + $d$.`\newline`{=tex} $\varphi(n)=2\cdot10=20$, $ed\pmod{20=1}$. Man + erkennt $d=7$. +3. Entschlüsseln Sie die Nachricht $c=2$: + $m=c^d\pmod{n}=2^7\pmod{33}=2^5\cdot2^2\pmod{33}=-4\pmod{33}=29$. +::: + +# Funktionen und Stetigkeit im $\R^n$ + +## Wiederholung + +- Standardskalarprodukt auf $\R^n$: + $$x=\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix},\ y=\begin{pmatrix}y_1\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}$$ + $$ + \implies(x|y)=x_1y_1+...+x_ny_n$$ +- Winkelberechnung: $\cos(\alpha)=\frac{(x|y)}{\|x\|\cdot\|y\|}$ +- Längenberechnung: $\|x\|=\sqrt{(x|x)}=\sqrt{x_1^2+...+x_n^2}$ +- Abstand: $d(x,y)=\|x-y\|$ +- Norm: $\|\cdot\|:\R^n\to\R$ + +## Konvergenz von Folgen + +Sei $(x_k)_{k\in\N}$ eine Folge im $\R^n$. $(x_k)_{k\in\N}$ konvergiert +gegen $a\in\R^n$ ($x_k\to a$ oder $\lim_{k\to\infty}x_k=a$) wenn gilt +$$\forall\varepsilon>0\ \exists N\in\N\ \forall k\ge N:\|x_k-a\|<\varepsilon.$$ + +::: bem +`\begin{align*}&x_k=\begin{pmatrix}x_1^{(k)}\\\vdots\\x_n^{(k)}\end{pmatrix}\to a \begin{pmatrix}a_1\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}\\\iff&x_i^{(k)}\to a_i\quad\forall i\in\{1,...,n\}\end{align*}`{=tex} +Die Rechenregeln für Folgen in $\R$ gelten analog im $\R^n$. +::: + +::: bsp +- $\begin{pmatrix}x_k\\y_k\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{k+1}}\begin{pmatrix}\cos(\frac{k\pi}{4})\\\sin(\frac{k\pi}{4})\end{pmatrix}\\\left\|\begin{pmatrix}x_k\\y_k\end{pmatrix}\right\|=\frac{1}{\sqrt{k+1}}\to0$ +::: + +## Offene, abgeschlossene, kompakte Mengen + +- Sei $x_0\in\R^n,\ \varepsilon>0$. + $K_\varepsilon(x_0)=\{x\in\R^n\mid\|x-x_0\|<\varepsilon\}$ heißt + offene $\varepsilon$-Kugel um $x_0$ +- $U\subseteq\R^n$ offen + $:\iff\forall x\in U\exists\varepsilon>0:K_\varepsilon(x)\subseteq U$ +- $U$ heißt Umgebung von $x\in D\subseteq\R^n:\iff U$ offen und + $x\in U$ und $U\subseteq D$ +- $A\subseteq\R^n$ abgeschlossen $:\iff A^C=\R^n\setminus A$ offen + +## Rand + +$x\in\R^n$ Randpunkt von +$D\subseteq\R^n:\iff K_\varepsilon(x)\cap D\ne\emptyset$ und +$K_\varepsilon(x)\cap D^C\ne\emptyset\quad\forall\varepsilon>0$. + +$\partial D$ ist die Menge aller Randpunkte von $D$. + +::: bsp +- $K_1\left(\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}\right)\subseteq\R^2$ + offen +- Allgemein: $K_\varepsilon(x_0)\subseteq\R^n$ offen +- $U=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\in\R^2\mid x+y>1\right\}$ + offen +::: + +## Charakterisiserung abgeschlossener Mengen + +Sei $(x_k)$ Folge in $A\subseteq\R^n$ mit Grenzwert $a\in\R^n$. + +$A$ abgeschlossen $\iff a\in A$. + +::: proof +```{=tex} +\begin{proof} +In beide Richtungen: +\begin{itemize} +\item \enquote{$\implies$}\quad Sei $A$ abgeschlossen und + $x_k\to a\in\R^n$. Angenommen $a\notin A$: + \begin{align*}&\implies a\in A^C\\&\implies\exists\varepsilon>0:K_\varepsilon(a)\subseteq A^C\\&\implies\exists N\in\N\forall k\ge N:\|x_k-a\|<\varepsilon\\&\implies x_k\in K_\varepsilon(a)\quad\forall k\ge N\quad\lightning\end{align*} +\item \enquote{$\impliedby$}\quad Durch Kontraposition: $A\subseteq\R^n$ nicht abgeschlossen $\implies$ Es gibt Folge $(x_k)$ in $A$ mit Grenzwert $a\in A^C$. $A$ nicht abgeschlossen $\implies A^C$ nicht offen. + \begin{align*}&\implies\exists a\in A^C:K_\varepsilon(a)\not\subseteq A^C\quad\forall\varepsilon>0\\&\implies K_\varepsilon(a)\cap A\ne\emptyset\quad\forall\varepsilon>0\end{align*} Wähle $x_k\in K_{1/k}(a)\cap A,\quad k\in\N$ \begin{align*}&\implies\|x_k-a\|<\frac{1}{k}\\&\implies x_k\to a\text{ für $k\to\infty$ und $x_k\in A$}\end{align*} +\end{itemize} +\end{proof} +``` +::: + +::: bsp +$M=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\in\R^2\mid0\le x<1\right\}$ +weder offen noch abgeschlossen: + +- nicht offen, da z.B. + $K_\varepsilon(0)\cap M^C\ne\emptyset\quad\forall\varepsilon>0$ +- nicht abgeschlossen, da z.B. + $x_k=\begin{pmatrix}1-1/k\\0\end{pmatrix}\in M$, aber + $x_k\to\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\notin M$ +::: + +## Vereinigung und Schnitt offener Mengen + +Sei $\{U_i\}_{i\in\N}$ ein System offener Mengen. Dann: + +- $\bigcup_{i=1}^\infty U_i$ offen +- $U_1\cap U_2$ offen + +::: proof +```{=tex} +\begin{proof} +~\\ +\begin{abc} + \item Sei $x\in\bigcup_{i=1}^\infty U_i$ + \begin{align*}&\implies\exists i\in\N:x\in U_i\\&\implies\exists\varepsilon>0:K_\varepsilon(x)\subseteq U_i\text{, da $U_i$ offen}\\&\implies K_\varepsilon(x)\subseteq\bigcup_{i=1}^\infty U_i\\&\implies\bigcup_{i=1}^\infty U_i\text{ offen}\end{align*} + \item $x\in U_1\cap U_2$ + \begin{align*}&\implies\exists\varepsilon_1,\varepsilon_2>0:K_{\varepsilon_1}(x)\subseteq U_1,\ K_{\varepsilon_2}(x)\subseteq U_2\\&\varepsilon:=\min\{\varepsilon_1,\varepsilon_2\}\\&\implies K_\varepsilon(x)\subseteq K_{\varepsilon_1}(x)\subseteq U_1\land K_\varepsilon(x)\subseteq K_{\varepsilon_2}(x)\subseteq U_2\\&\implies K_\varepsilon(x)\subseteq U_1\cap U_2\end{align*} +\end{abc} +\end{proof} +``` +::: + +## Folgerung + +Sei $\{A_i\}_{i=1}^\infty$ ein System abgeschlossener Mengen. Dann: + +- $\bigcap_{i=1}^\infty A_i$ abgeschlossen +- $A_1\cup A_2$ abgeschlossen + +::: proof +```{=tex} +\begin{proof} +~\\ +\begin{itemize} + \item $(\bigcap_{i=1}^\infty A_i)^C=\bigcup_{i=1}^\infty A_i^C$ offen + \item $(A_1\cup A_2)^C=A_1^C\cap A_2^C$ offen +\end{itemize} +\end{proof} +``` +::: + +## Abschluss, Inneres + +Sei $D\subseteq\R^n$. + +- $\bar{D}=D\cup\partial D$ ist abgeschlossen und heißt Abschluss von + $D$. +- $\mathring{D}:=D\setminus\partial D$ ist offen und heißt Inneres von + $D$. +- $\partial D$ ist abgeschlossen + +::: proof +```{=tex} +\begin{proof} +~\\ +\begin{itemize} + \item Sei $(x_k)$ Folge in $\bar{D}$ mit Grenzwert $a\in\R^n$.\\Annahme: $a\notin\bar{D}$, d.h. insbesondere $a\notin\partial D$\\$\implies\exists\varepsilon>0:K_\varepsilon(a)\cap D=\emptyset$ und $K_\varepsilon(a)\cap\partial D=\emptyset$.\\Widerspruch, da $\exists N\in\N\forall n\ge N: x_n\in K\varepsilon(a)$. + \item \begin{rom} + \item Es ist $\partial D=\partial(D^C)$: $x\in\partial(D^C)\\\iff K_\varepsilon(x)\cap D^C\ne\emptyset$ und $K_\varepsilon\cap(D^C)^C\ne\emptyset\quad\forall\varepsilon>0\\\iff x\in\partial D$ + \item $(D^C\cup\partial D)^C=D\cap(\partial D)^C=D\setminus\partial D\implies\mathring{D}$ offen + \end{rom} +\end{itemize} +\end{proof} +``` +::: + +::: bsp +- $\bar{K_\varepsilon}(x_0)=\{x\in\R^n\mid\|x\|\le\varepsilon\}$ + abgeschlossene $\varepsilon$-Kugel um $x_0\in\R^n$ +- `\begin{align*}M&=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\in\R^2\mid0\le x<1\right\}\\\partial M&=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\in\R^2\mid x=0\lor x=1\right\}\\\bar{M}&=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\in\R^2\mid0\le x\le1\right\}\\\mathring{M}&=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\in\R^2\mid0<x<1\right\}\end{align*}`{=tex} +::: + +## Beschränkte/kompakte Mengen + +- $D\subseteq\R^n$ beschränkt + $:\iff\exists K>0:\|x\|<K\quad\forall x\in D$ +- $D\subseteq\R^n$ kompakt $:\iff$ Jede Folge in $D$ besitzt eine in + $D$ konvergente Teilfolge. + +## Charakterisierung kompakter Mengen + +$D\subseteq\R^n$ kompakt $\iff D$ beschränkt und abgeschlossen. + +::: proof +```{=tex} +\begin{proof} +TODO. +\end{proof} +``` +::: + +::: bsp +- $\bar{K}_\varepsilon(x_0)$ kompakt, da beschränkt und abgeschlossen +- $A=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\in\R^2\mid y=x^2,\ y\le1\right\}$ + abgeschlossen und beschränkt, also kompakt +::: + +## Mehrdimensionale reele Funktionen und Stetigkeit + +- Eine reele Funktion von mehreren Veränderlichen ist eine Abbildung + `\begin{align*}f:D\subseteq\R^n&\to\R^m\\x=\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}&\to f(x)=\begin{pmatrix}f_1(x)\\\vdots\\f_m(x)\end{pmatrix}\end{align*}`{=tex} +- Man unterscheidet folgende Fälle: + `\begin{alignat*}{2}m=1:\quad&f:D\subseteq\R^n\to\R\quad&&\text{(skalare Funktion)}\\m>1:\quad&f:D\subseteq\R^n\to\R^m\quad&&\text{(vektorwertige Funktion)}\\n=1:\quad&f:D\subseteq\R\to\R^m\quad&&\text{(parameterisierte Kurve)}\end{alignat*}`{=tex} + +::: bsp +- Skalare Funktionen mit $D\subseteq\R^2$ lassen sich grafisch + darstellen: + - $\mathrm{Graph}(f):=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\in\R^3\mid\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\in D,\ z=f(x,y)\right\}$ + ist eine Fläche im $\R^3\\$ Beispiel: $f(x,y)=5-2xy+x^3+y^2\\$ + `\begin{tikzpicture}\begin{axis}[xlabel={$y$},ylabel={$x$},zlabel={$z$}]\addplot3[surf, mesh, samples=30]{5-2*x*y+x^3+y^2};\end{axis}\end{tikzpicture}`{=tex} + - Höhen-/Niveaulinien: + $N_C(f):=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\in\R^2\mid f(x,y)=c\right\},\quad c\in\R.\\$ + Beispiel: $f:\R^2\to\R,\ f(x,y)=x^2+y^2\\$ + `\begin{tikzpicture}\begin{axis}[xlabel={$y$},ylabel={$x$},zlabel={$z$}]\addplot3[surf, mesh, samples=30]{x^2+y^2};\end{axis}\end{tikzpicture}\\`{=tex} + `TODO%\begin{tikzpicture}\begin{axis}[view={0}{90},enlarge x limits,xlabel={$y$},ylabel={$x$},zlabel={$z$}]\addplot3[domain=-3:3,domain y=-3:3,contour gnuplot={levels={-1,1}},samples=30]{x^2+y^2};\end{axis}\end{tikzpicture}\\`{=tex} +- Parameterisierte Kurve + - $f:\R\to\R^2,\ x\to\begin{pmatrix}\cos(x)\\\sin(x)\end{pmatrix}$ + Einheitskreis + - Venusbahn geozentrisch: TODO: Graphen. + `\begin{align*}D(t)&=V(t)-E(t)\\E(t)&\approx a_E(\cos(8\cdot2\pi t),\ \sin(8\cdot2\pi 2))\\V(t)&\approx a_V(\cos(13\cdot2\pi t),\ \sin(13\cdot2\pi t))\end{align*}`{=tex} + Innerhalb einer Zeiteinheit ($0\let\le1$) dreht sich die Erde + $8\times\phantom{{}}$ um die Sonne $\implies$ Umlaufzeit Erde: + $T_E=\frac{1}{8}\implies$ Umlaufzeit Venus $T_V=\frac{1}{13}$. + Aus dem 3. Keplerschen Gesetz folgt: + $$T_E^2\sim a_E^3\iff a_E\sim\sqrt[3]{T_E^2}=\sqrt[3]{\frac{1}{64}}=\frac{1}{4}$$ + und $$a_V\sim\sqrt[3]{\left(\frac{1}{13}\right)^2}.$$ Mit + $a_E=\frac{1}{4}$ und + $a_V=\sqrt[3]{\left(\frac{1}{13}\right)^2}$ erhält man für + $D(t),\ 0\le t\le1$ eine Epitrochoide. TODO: Graphen +::: + +## Stetigkeit + +Sei $f:D\subset\R^n\to\R^m$. + +- $c\in\R^m$ heißt Grenzwert von $f$ in $a\in\R^n$, falls für jede + Folge $(x_k)$ mit $x_k\to a,\ x_k\ne a\quad\forall k\in\N$ gilt: + $f(x_k)\to c$. Schreibweise: $\lim_{x\to a}f(x)=c$ +- $f$ stetig in $a\in D :\iff \lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ +- $f$ stetig auf $D :\iff f$ stetig in $a\quad\forall a\in D$ + +::: bem +- $f:D\subset\R^n\to\R^m$ stetig in + $a\in D\iff f_i:D\to\R\text{ stetig}\quad\forall i\in\{1,...,m\}$ +- Summen, Produkte, Quotienten, Kompositionen stetiger Funktionen sind + stetig. Rechenregeln für Grenzwerte gelten analog. +::: + +::: bem +- Stetigkeit wurde anhand des Folgenkriteriums definiert. Analog dazu + lässt sich dieses auch anhand des $\varepsilon-\delta$-Kriteriums + formulieren: + `\begin{align*}f:D\subset\R^n\to\R^m\text{ stetig}&\iff\forall\varepsilon>0\exists\delta>0\forall x\in D:\|x-a\|<\varepsilon\\&\implies\|f(x)-f(a)\|<\varepsilon\end{align*}`{=tex} +- Anders formuliert: + $$\forall\varepsilon>0\exists\delta>0:f(K_\delta(a))\subseteq K_\varepsilon(f(a))$$ +::: + +::: bsp +- $f:\R^n\to\R,\ f(x_1,...,x_n)=x_i$ stetig in $a\in\R^n$: + - Es sei $(a_k)_{k\in\N}$ Folge in $\R^n$ mit + `\begin{align*}&a_k=\begin{pmatrix}a_1^{(k)}\\\vdots\\a_n^{(k)}\end{pmatrix}\to a=\begin{pmatrix}a_1\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}\\\implies&\lim_{k\to\infty}f(a_k)=\lim_{k\to\infty}a_i^{(k)}=a_i\end{align*}`{=tex} + - $f(a)=a_i\implies f(a_k)\to f(a)$ +- Es folgt, dass alle Polynome stetig sind +- Folgende Funktion ist stetig in + $\R^2\setminus\left\{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\right\}$ + (TODO: Graph) + $$f(x,y)=\begin{cases}0&(x,y)=(0,0)\\\frac{3x^2}{x^2+y^2}&\text{ sonst}\end{cases}$$ + - Sei + $a_k:=\begin{pmatrix}1/k\\1/k\end{pmatrix}\in\R^2\setminus\left\{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\right\}$. + Es gilt + `\begin{align*}&a_k\to0\\\implies&f(a_k)=\frac{3(1/k)^2}{(1/k)^2+(1/k)^2}=\frac{3}{2}\\\implies&f(a_k)\to\frac{3}{2}\end{align*}`{=tex} + - $f(0,0)=0\implies f(a_k)\not\to f(0,0)$ und $f$ unstetig in + $\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$ +- Folgende Gleichung muss nicht notwendigerweise erfüllt sein + (vorausgesetzt, die entsprechenden Grenzwerte existieren): + $$\lim_{x\to a}(\lim_{y\to b}f(x,y))=\lim_{y\to b}(\lim_{x\to a}f(x,y))$$ +::: + +Falls einer der Grenzwerte existiert oder sogar die Gleichung erfüllt +ist, so folgt danach keineswegs, dass $\lim_{(x,y)\to(a,b)}f(x,y)$ +existiert. + +::: bsp +`\begin{align*}f:\ &\R^2\setminus\left\{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\right\}\to\R\\&f(x,y)=\frac{xy^2}{x^2+y^2}\end{align*}`{=tex} + +Da $\lim_{x\to0}f(x,y)=0$ und $\lim_{y\to0}(\lim_{x\to0}f(x,y))=0$. + +Analog $\lim_{x\to0}(\lim_{y\to0}f(x,y))=0$. + +Aber: $\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)$ existiert nicht, denn +$$f\left(\frac{1}{k},\frac{1}{k}\right)=\frac{k^2}{1/k^2+1/k^2}=\frac{k}{k^2+1}\to0$$ +$$f\left(\frac{1}{k^2},\frac{1}{k}\right)=\frac{1/k^2}{2/k^2}\to\frac{1}{2}$$ +Insbesondere lässt sich $f$ im Nullpunkt nicht stetig fortsetzen. +::: + +## Stetigkeit und Offenheit + +Sei $f:D\subseteq\R^n\to\R^n,\ V\subseteq f(0)$, $V$ offen. Dann: +$$f\text{ stetig}\iff f^{-1}(V)\text{ offen}$$ + +::: proof +```{=tex} +\begin{proof} +In beide Richtungen: +\begin{itemize} +\item \enquote{$\implies$}:\quad Sei \begin{align*}y\in V&\implies\exists x\in D: f(x)=y\\&\implies\exists\varepsilon>0:K_\varepsilon(y)\subseteq V\\&\implies\exists\delta>0:f(K_\varepsilon(x))\subseteq K_\varepsilon(y)\\&\implies K_\varepsilon(x)\subseteq f^{-1}(K_\varepsilon(y))\subseteq f^{-1}(V)\end{align*} +\item \enquote{$\impliedby$}:\quad Trivial +\end{itemize} +\end{proof} +``` +::: + +## Stetigkeit und Kompaktheit + +$f:D\subseteq\R^n\to\R^m$ stetig, $A\subseteq D$ kompakt $\implies f(A)$ +kompakt. + +::: proof +```{=tex} +\begin{proof} +Sei $(y_k)$ Folge in $f(A)$. \toprove: $(y_k)$ hat eine in $f(A)$ konvergente Teilfolge. + +Sei $(x_k)$ Folge in $A$ mit $f(x_k)=y_k\quad\forall k\in\N$. + +$\implies\exists(x_{k_j})\subseteq A$ mit Grenzwert $a\in A$. + +$\implies f(x_{k_j})=y_{k_j}$ Teilfolge von $(y_k)$ in $f(A)$ mit Grenzwert $f(a)$ +\end{proof} +``` +::: + +## Beschränktheit von Funktionen + +Sei $D=\emptyset$, $f:D\subseteq\R^n\to\R^m$ beschränkt $:\iff f(D)$ +beschränkt. + +## Minimax-Theorem von Weierstraß + +$f:D\subseteq\R^n\to\R$ stetig, $D$ kompakt. + +$\implies\exists x_\star,x^\star\in D: \underbrace{f(x_\star)}_\mathrm{min}\le f(x)\le f(x^\star)_\mathrm{max}\quad\forall x\in D$ + +::: proof +```{=tex} +\begin{proof} +\toprove $f(D)$ kompakt. +\begin{itemize} +\item $f(D)$ beschränkt $\implies\exists\mathrm{inf}f(D),\mathrm{sup}f(D)$ +\begin{align*}\implies\exists(a_k),(b_k)\subseteq f(D):\ &a_k\to\mathrm{inf}f(D)\\&b_k\to\mathrm{sup}f(D)\end{align*} +\item $f(D)$ abgeschlossen +\begin{align*}\implies&\mathrm{inf}f(D)=\max f(D)=f(x_*)\\&\mathrm{sup}f(D)=\max f(D)=f(x^*)\end{align*} +\end{itemize} +\end{proof} +``` +::: + +::: bsp +$f:\R^2\to\R$, $f(x,y)=xy$ + +$S=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\in\R^2\mid x^2+y^2=1\right\}$ + +$\implies f$ hat Maximum und Minimum auf $S$ +::: + +## Kontraktion + +Sei $A\subseteq\R^n$ abgeschlossen und sei $f:A\to\R^n$. \$fA heißt +Kontraktion auf $A :\iff$ + +- $f(A)\subseteq A$ +- $\|f(x)-f(y)\|\le q\|x-y\|,\ q\in[0,1)\quad\forall x,y\in A$ + +$f$ ist eine stetige Abbildung. + +::: bsp +- $f:\R\to\R,\ f(x)=\frac{1}{2}x\\|f(x)-f(y)|=\frac{1}{2}|x=y|$, d.h. + $q=\frac{1}{2}$ +- $f$ Kontraktion auf $A=[0,1]$: + $f([0,1])=[0,\frac{1}{2}]\subseteq[0,1]$ +- $f$ keine Kontraktion auf $A=[1,2]$, da + $f([1,2])=[\frac{1}{2},1]\not\subseteq[1,2]$ +::: + +## Banachscher Fixpunktsatz im $\R^n$ + +Sei $A\subseteq\R^n$ abgeschlossen und $f:A\to A$ eine Kontraktion auf +$A$. Dann: + +1. $\exists!\bar{x}\in A: A(\bar{x})=\bar{x}$. $\bar{x}$ heißt + Fixpunkt. +2. Für $x_0\in A$ und $x_n:=f(x_{x_n-1}),\ n\in\N$, gilt: + $x_n\to\bar{x}$ und $\|x_n-\bar{x}\|\le\frac{qn}{1-q}\|x_1-x_0\|$ + +::: proof +```{=tex} +\begin{proof} +TODO. Siehe Skript +\end{proof} +``` +::: + +## Matrixnorm + +Sei $A\in\M_{m,n}(\R)$. Die reele Zahl +$\|A\|=\max\{\|Av\|\mid v\in\R^n,\ \|v\|=1\}$ heißt Operatornorm von +$A$. + +# Differenziation im $\R^n$ + +## Partielle Ableitung + +Sei $D\subseteq\R^n$ offen, $f:D\to\R^m$, $f(x)=(f_1(x),...,f_m(x))$ und +$a=(a_1,...,a_n)^\top\in D$. + +- $f$ heißt an der Stelle $a$ partiell nach $x_j$ differenzierbar, + falls für jede der Funktion $f_i: \R^n\to\R$ gilt: Die skalare + Funktion $f_i(a_1,...,a_{j-1},x_j,a_{j+1},...,a_n)$ einer + Veränderlichen ist an der Stelle $a_j$ differenzierbar, d.h. + `\begin{align*}&\lim_{k\to0}\frac{f_i(a_1,...,a_{j-1},a_j+h,a_{j+1},...,a_n)-f_i(a_1,...,a_n)}{h}\\=&\lim_{h\to0}\frac{f_i(a+h\cdot e_j)-f(a)}{h}\end{align*}`{=tex} + existiert für alle $1\le i\le m$. +- Dieser Grenzwert heißt dann partielle Ableitung von $f_i$ nach $x_j$ + an der Stelle $a$. Sschreibweise: + $\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a)$. +- Sind alle $f_i$ nach allen $x_j$ partiell differenzierbar in $a$, so + heißt $f$ partiell differenzierbar und man definiert die + Jacobimatrix von $f$ in $a$ durch + $$f'(a):=\begin{pmatrix}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(a)&...&\frac{\partial f_1}{\partial x_n}(a)\\\frac{\partial f_m}{\partial x_1}(a)&...&\frac{\partial f_m}{\partial x_n}(a)\\\end{pmatrix}\in\M_{m,n}(\R)$$ +- Für skalare Funktionen besteht $f'(a)$ aus nur einer Zeile. Man + bezeichnet den Vektor + $$f'(a)^\top=\begin{pmatrix}\frac{\partial f}{\partial x_1}(a)\\\vdots\\\frac{\partial f}{\partial x_n}(a)\end{pmatrix}=:\nabla f(a)=\grad(f(a))\in\R^n$$ + als Gradienten von $f$ in $a$. + +## Geometriche Deutung der partiellen Ableitung + +Sei $f:\R^2\to\R,\ a\in\R^2,\ a=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}$. + +TODO: Graph + +::: bsp +- $f:\R^2\to\R,\ f(x,y)=3xy+4y$ + `\begin{align*}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)&=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}\\&=\lim_{h\to0}\frac{3(x+h)y+4y-3xy-4y}{h}\\&=\lim_{h\to0}3y\end{align*}`{=tex} + D.h.: $y$ wird als Konstante behandelt und nach $x$ wird abgeleitet. +- $f:\R^3\to\R,\ f(x,y,z)=y^2x+3x^2z^2$ + `\begin{align*}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)&=y^2+6xz^2\\\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)&=2xy\\\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)&=6x^2z\end{align*}`{=tex} + `\begin{alignat*}{2}\implies&f'(x,y,z)&&=(y^2+6xz^2, 2xy,6x^2z)\\&f'(1,0,1)&&=(6,0,6)\\&\nabla f(x,y,z)&&=\begin{pmatrix}y^2+6xz^2\\2xy\\6x^2z\end{pmatrix}\end{alignat*}`{=tex} +- $f:\R^3\to\R^2$, + $f(x,y,z)=\begin{pmatrix}x+y\\xyz\end{pmatrix}\implies f'(x,y,z)=\begin{pmatrix}1&1&0\\yz&xz&xy\end{pmatrix}$ +::: + +::: bem +- Zeigen später: Der Gradient zeigt in Richtung des steilsten Anstiegs + einer Funktion in einem gegebenen Punkt. Er steht senkrecht auf den + Niveaulinien. +- Existieren für $f$ in einem gegebenen Punkt alle partiellen + Ableitungen, so muss $f$ nicht automatisch stetig sein. +::: + +## Totale Ableitung + +Sei $D\subseteq\R^n$ offen, $a\in D$, $f: D\to\R^m$. + +- $f$ heißt in $a\in D$ (total) differenzierbar, wenn $f$ geschrieben + werden kann als + $$f(x)=\underbrace{f(a)}_{\in\R^m}+\underbrace{A}_{\in\M_{m,n}(\R)}\cdot(\underbrace{x-a}_{\in\R^m})+\underbrace{R(x)}_{\in\R^m},$$ + wobei $A\in\M_{m,n}(\R)$ und $R: D\to\R^m$ mit + $\lim_{x\to a}\frac{R(x)}{\|x-a\|}=0$ +- $f$ heißt (total) differenzierbar, wenn in jedem Punkt von $D$ + differenzierbar. + +::: bem +- Für $m=n=1$ erhält man die Differenzierbarkeit aus Mathe 1: + `\begin{align*}&f(x)=f(a)+A(x-a)+R(x)\\\implies&\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=A+\frac{R(x)}{x-a}\to A\\\implies&f'(a)=A\end{align*}`{=tex} +- $x\to a\iff x-a\to0$. Sei $v=x-a\in\R^n$. Dann kann vorige Gleichung + geschrieben werden als + $$f(a+v)=f(a)+Av+R(v)\quad\text{mit }\frac{R(v)}{\|v\|}\to0$$ +::: + +## Differenzierbarkeit $\implies$ Stetigkeit + +$f:D\subseteq\R^n\to\R^m$ differenzierbar in $a\in D$ (D offen). + +$\implies f$ stetig in $a$. + +::: proof +```{=tex} +\begin{proof} +$$\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}(f(a)+A(x-a)+R(x))=f(a)$$ +\end{proof} +``` +::: + +## $A=f'(a)$ + +Sei $f:D\subseteq\R^n\to\R^m$ und differenzierbar in $a\in D$, $D$ offen +und sei $f(a+v)=f(a)+Av+R(v)$ wie zuvor. Dann ist $f$ in $a$ partiell +differenzierbar und es gilt $A=f'(a)$. Insbesondere: $A$ eindeutig. + +::: proof +```{=tex} +\begin{proof} +Sei $A=(a_{i,j})_{i,j}$, $v=(v_1,...,v_n)^\top\in\R^n$. + +Für $i\in\{1,...,m\}$ ist $f_i(a+v)=f_i(a)+\sum_{j=1}^na_{ij}v_j+R_i(v)$. + +Setzt man $v=\underbrace{h}_{\in\R}\cdot e_k$, so ist $\|v\|=|h|=\mathrm{sgn}(h)\cdot h$ und \begin{align*}&\frac{f_i(a+v)-f_i(a)}{\|v\|}=\frac{a_{ik}\cdot h}{\|v\|}+\frac{R_i(v)}{\|v\|}\quad\mid\phantom{{}}\cdot\mathrm{sgn}(h)\\\iff&\underbrace{\frac{f_i(a+v)-f_i(a)}{h}}_{\to\frac{\partial f}{\partial x_k}(a)}=a_{ik}\cdot h+\underbrace{\frac{R_i(v)}{\|v\|}\cdot\mathrm{sgn}(h)}_{\to0}\\\implies&a_{ik}=\frac{\partial f_i}{\partial x_k}(a)\end{align*} +\end{proof} +``` +::: + +::: bsp +`\textbf{Tangentialebene berechnen}`{=tex}: + +- wir wissen, dass $\frac{R(x)}{\|x-a\|}\to0$ gilt und demnach $f(x)$ + in einer Umgebung von $a$ angenähert werden kann durch + $$g(x)=\underbrace{f(a)}_{\text{TODO?}}+\underbrace{f'(a)\cdot(x-a)}_{\text{lineare Abbildung}}$$ + vorausgesetzt $f$ ist in $a$ differenzierbar. $g$ heißt lineare + Approximation/Tangentialebene von $f$ in $a.\\$Z.B.: + $f(x_1,x_2)=x_1^2+x_2^2,\quad\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}\in\R^2$ + Tangentialebene in $(a_1,a_2,f(a_1,a_2))^\top\in\R^3$ für + $a=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$. + `\begin{align*}g(x)&=f(a)+f'(a)(x-a)=5+\begin{pmatrix}2&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1-1\\x_2-2\end{pmatrix}\\&=5+2x_1-2+4x_2-8\\&=-5+2x_1+4x_2\end{align*}`{=tex} + +- $f$ differenzierbar in $a\in D\iff f_i$ differenzierbar in + $a\in D\quad\forall i\in\{1,...,n\}$. + + ::: proof + ```{=tex} + \begin{proof} + Sei $f'(a)=(a_{ij})$ die Jacobimatrix von $f$ in $a$.\\Dann: \begin{align*}&f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+R(x),\quad\frac{R(x)}{\|x-a\|}\to0\\\iff&f_i(x)=f_i(a)+\underbrace{\sum_{j=1}^na_{ij}(x_j-a_j)}_{f_i'(a)(x-a)}+R_i(x),\quad\forall i\in\{1,...,m\};\ \frac{R(x)}{\|x-a\|}\to0\end{align*} + \end{proof} + ``` + ::: +::: + +## Ableitungsregeln + +### Kettenregel + +Seien $U\subseteq\R^n,\ V\subseteq\R^m$ offen, $a\in U$, $f:U\to\R^m$, +$g:V\to\R^k$ mit $f(U)\subseteq V$. + +Ist $f$ differenzierbar in $a\in U$ und $g$ differenzierbar in $f(a)$, +so ist $g\circ f$ differenzierbar in $a$ und es gilt: +$$(g\circ f)'(a)=g'(f(a))\cdot f'(a)$$ + +::: proof +```{=tex} +\begin{proof} +Es seien $L:=f'(a)$, $K:=g'(f(a))$. + +D.h.: $K\cdot L=g'(f(a))\cdot f'(a)$. + +Setze +\begin{itemize} + \item $R(v)=f(a+v)-f(a)-Lv$ + \item $S(w)=g(f(a)+w)-g(f(a))-Kw$ + \item $T(v)=(g\circ f)(a+v)-(g\circ f)(a)-KLv$ +\end{itemize} +$f,g$ differenzierbar in $a$ bzw. $f(a)$. + +$\implies\lim_{v\to0}\frac{R(v)}{\|v\|}=0$, $\lim_{w\to0}\frac{s(w)}{\|w\|}=0$ + +$\lim_{v\to0}\frac{T(v)}{\|v\|}=0$ folgt durch simples Einsetzen und Umformen. + +$\lim_{v\to0}\frac{S(R(v)+Lv)}{\|v\|}=0$ folgt ebenfalls (bisschen komplexer eigentlich). + +Daraus folgt für $0<\|v\|<\epsilon$: $$\frac{\|R(v)+Lv\|}{\|v\|}\le\frac{\|R(v)\|}{\|v\|}+\left\|L\cdot\frac{v}{\|v\|}\right\|\le1+c$$ +Damit ergibt sich: $$\frac{S(R(v)+Lv)}{\|v\|}=\frac{S(R(v)+Lv)}{\|R(v)+Lv\|}\cdot\frac{\|R(v)+Lv\|}{\|v\|}\xrightarrow[v\to0]{}0$$ + +\end{proof} +``` +::: + +::: bsp +Sei +$f:\R\to\R^2,\ f(t)=\begin{pmatrix}\cos t\\t\end{pmatrix}\implies f'(t)=\begin{pmatrix}-\sin t\\1\end{pmatrix}$ + +Sei außerdem +$g:\R^2\to\R^2,\ g(x,y)=\begin{pmatrix}x^2+3y\\x-y\end{pmatrix}\implies g'(x,y)=\begin{pmatrix}2x&3\\1&-1\end{pmatrix}$ + +Gesucht ist $(g\circ f)'$. + +1. $(g\circ f)'(t)=g'(f(t))\cdot f'(t)=\begin{pmatrix}2\cos t&3\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-\sin t\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\cos t\cdot\sin t+3\\-\sin t - 1\end{pmatrix}$ +2. $(g\circ f)(t)=g\begin{pmatrix}\cos t\\t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos^2t+3t\\\cos t-t\end{pmatrix}\implies(g\circ f)'(t)=\begin{pmatrix}-2\cos t\cdot\sin t+3\\-\sin t-1\end{pmatrix}$ +::: + +### Weitere Ableitungsregeln + +Sei $D\subseteq\R^n$ offen, $f,g:D\to\R^m$ differenzierbar in $a\in D$, +$\lambda\in\R$. Dann sind auch $f+g$, $\lambda f$, $f^\top g$ in $a$ +differenzierbar und es gilt: + +- $(f+g)'(a)=f'(a)+g'(a)$ +- $(\lambda f)'(a)=\lambda f'(a)$ +- $(f^\top g)'(a)=f(a)^\top g'(a)+g(a)^\top f'(a)$ + +::: bsp +$f,g: \R^2\to\R^2$, $f(x,y)=\begin{pmatrix}x-y\\x\end{pmatrix}$, +$g(x,y)=\begin{pmatrix}x^2\\y\end{pmatrix}$, +$f'(x,y)=\begin{pmatrix}1&-1\\1&0\end{pmatrix}$, +$g'(x,y)=\begin{pmatrix}2x&0\\0&1\end{pmatrix}$ +`\begin{align*}\implies (f^\top g)'(x,y)&=(x-y,x)\begin{pmatrix}2x&0\\0&1\end{pmatrix}+(x^2,y)\begin{pmatrix}1&-1\\1&0\end{pmatrix}\\&=(2x^2-2xy,x)+(x^2+y,-x^2)\\&=(3x^2-2xy+y,x-x^2)\end{align*}`{=tex} +::: + +## Mittelwertsätze + +### Mittelwertsatz für skalare Funktionen + +Sei $D\subseteq\R^n$ offen, $f:D\to\R$ differenzierbar und $a,b\in D$, +sodass $$S(a,b):=\{a+t(b-a)\mid t\in(0,1)\}\subseteq D$$ Dann existiert +ein $\xi\in S(a,b)$, sodass $$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$$ + +::: proof +```{=tex} +\begin{proof} +Sei $\varphi:[0,1]\to D$ mit $\varphi(t)=a+t(b-a)$, $g:=f\circ\varphi:[0,1]\to\R$. $f$ differenzierbar, $\varphi$ differenzierbar auf $(0,1)$ und stetig auf $[0,1]$. + +$\implies g$ differenzierbar auf $(0,1)$ und stetig auf $[0,1]$ +$\implies \exists\vartheta\in(0,1)$ mit $\frac{g(1)-g(0)}{1-0}=g'(\vartheta)$. + +Sei $\xi:=\phi(\vartheta)$. +\begin{align*} +\implies f(b)-f(a)&=f(\varphi(1))-f(\varphi(0))=g(1)-g(0)\\ +&=g'(\vartheta)=(f\circ\varphi)'(\vartheta)\\ +&=f'(\varphi(\vartheta))\cdot\varphi'(\vartheta)\quad\mid\varphi'(t)=b-a\\ +&=f'(\xi)(b-a) +\end{align*} +\end{proof} +``` +::: + +::: bem +Für vektorwertige Funktionen kann man den vorigen Satz nicht beweisen. +Z.B.: + +Sei +$f:[0,2\pi]\to\R^2,\ f(t)=\begin{pmatrix}\cos t\\\sin t\end{pmatrix}$. + +Gibt $\xi\in(0,2\pi)$ mit $f(2\pi)-f(0)=f'(\xi)(2\pi-0)$? + +Nein, da +$$f(2\pi)-f(0)=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=0\ne f'(\xi)\cdot2\pi\implies f'(\xi)=(0,0).$$ + +Aber: $f'(t)=(-\sin t,\cos t)\ne(0,0)\quad\forall t\in(0,2\pi)$. + +Es lässt sich jedoch eine Abschätzung mithilfe von Integralen zeigen. +::: + +## Riemann-Integral + +### Zerlegung + +Sei $[a,b]\subseteq\R$. + +- $Z:=\{x_0,x_1,...,x_n\}\subseteq[a,b]$, $a=x_0<x_1<...<x_n=b$ heißt + Zerlegung von $[a,b]$ +- $|Z|:=\max_{i=1,...,n}(x_i-x_{i-1})$ heißt Feinheit von $Z$ +- $\sum[a,b]$: Menge aller Zerlegungen von $\yogh[a,b]$ + +### Riemannsche Summe + +Sei $f:[a,b]\to\R$ und $Z=\{x_0,...,x_n\}\in\yogh[a,b]$. + +- $\xi:=(\xi_1,...,\xi_n)$, $\xi_i\in[x_{i-1},x_i]$, heißt + Zwischenvektor von $Z$ +- $S(f,Z,\xi):=\sum_{i=1}^nf(\xi_i)(x_i-x_{i-1})$ heißt Riemannsche + Summe + +### Riemann-Integral + +$f:[a,b]\to\R$ heißt $R$-integrierbar auf $[a,b] :\iff$ für jede Folge +$Z_n\in\yogh[a,b]$ mit Zwischenvektor $\xi_n$ und +$|Z_n|\xrightarrow[n\to\infty]{}0$ konvergiert $S(f,Z_n,\xi_n)$ gegen +$A\in\R$. + +Bezeichnung: $A=\int_a^bf(x)\mathrm dx$ + +::: bem +Die Definition ist äquivalent zu derjenigen aus Mathe 1. +::: + +### Riemann-Integral für $f:[a,b]\to\R^m$ + +Sei $f:[a,b]\to\R^m$. + +- Für $Z$, $\xi$ wie zuvor ist + $S(f,Z,\xi):=\sum_{i=1}^nf(\xi_i)(x_i-x_{i-1})$ +- Für $Z_n$, $\xi_n$ sei $A\in\R^m$ der Grenzwert von + $S(f,Z_n,\xi_n)$, falls existent.$\\$Bezeichnung: + $A=\int_a^bf(x)\mathrm dx$ + +::: bem +- Offensichtlich gilt: + $$f:[a,b]\to\R^m\ R\text{-integrierbar}\iff f_i:[a,b]\to\R\ R\text{-integrierbar}\quad\forall i=1,...,m.$$D.h. + $$\int_a^bf(x)\mathrm dx=\begin{pmatrix}\int_a^bf_1(x)\mathrm dx\\\vdots\\\int_a^bf_m(x)\mathrm dx\end{pmatrix}$$ +- Eine Matrix $A(x)\in\M_{m,n}(\R)$ kann man mit einem Vektor + $v(x)\in\R^m\cdot n$ identifizieren, indem alle Matrixeingänge in + eine Spalte geschrieben werden. Daher kann man + definieren:$\\$$\int_a^bA(x)\mathrm dx:=\left(\int_a^ba_{ij}(x)\mathrm dx\right)_{i,j}$ + und es gilt + $$\int_a^bA(x)\cdot h\mathrm dx=\int_a^bA(x)\mathrm dx\cdot h\quad\forall h\in\R^n$$ +::: + +### Dreiecksungleichung + +$$f:[a,b]\to\R^m\text{ stetig}\implies\left\|\int_a^bf(x)\mathrm dx\right\|\le\int_a^b\left\|f(x)\right\|\mathrm dx$$ + +::: proof +```{=tex} +\begin{proof} +\begin{align*} +\|S(f,Z,\xi)\|&=\|\sum_{i=1}^nf(\xi_i)(x_i-x_{i-1})\|\\ +&\le\sum_{i=1}^n\|f(\xi_i)\|\cdot\underbrace{(x_i-x_{i-1})}_{\ge0}\\ +&=S(\underbrace{\|f\|}_{\mathclap{\text{stetig, da $f$ stetig}}},Z,\xi) +\end{align*} +\end{proof} +``` +::: + +## Mittelwertsätze für vektorwertige Funktionen + +$f:D\subseteq\R^n\to\R^m$ ($D$ offen) sei differenzierbar, sodass alle +partiellen Ableitungen stetig sind (d.h. $f$ stetig differenzierbar). +Ferner seien $a,b\in D$, sodass +$$S=\{a+t(b-a)\mid t\in[0,1]\}\subseteq D.$$ + +Für $h:=b-a$ folgt: + +- $f(b)-f(a)=\underbrace{\int_0^1f'(a+th)\mathrm dt}_{\in\M_{m,n}(\R)}\cdot h\in\R^m$ +- $\|f(b)-f(a)\|\le M\cdot\|h\|$, wobei + $M:=\max_{x\in S}\underbrace{\|f'(x)\|}_{\mathclap{\text{stetig, da alle partiellen Ableitungen stetig}}}$ + +::: proof +```{=tex} +\begin{proof} +\begin{itemize} +\item $\varphi_j: [0,1]\to\R$, $\varphi_j(t):=f_j(a+t\cdot h)$, $h=b-a$. +\begin{align*} +\implies f_j(b)-f_j(a)&=\varphi_j(1)-\varphi_j(0)\\ +&=\int_0^1\varphi_j'(t)\mathrm dt\\ +&=\int_0^1\underbrace{f_j'(a+th)}_{\mathclap{\text{stetig, d.h. $R$-integrierbar}}}\cdot h\mathrm dt +\end{align*} +\begin{align*} +\implies f(b)-f(a)&=\begin{pmatrix}\int_0^1f_1'(a+th)\cdot h\mathrm dt\\\vdots\\\int_0^1f_m'(a+th)\cdot h\mathrm dt\end{pmatrix}\\ +&=\int_0^1f'(a+th)\cdot h\mathrm dt\\ +&=\int_0^1f'(a+th)\mathrm dt\cdot h +\end{align*} +\item $\|f(b)-f(a)\|=\left\|\int_0^1f'(a+th)\mathrm dt\cdot h\right\|\le\int_0^1\underbrace{\|f'(a+th)\|}_{\le M}\mathrm dt\cdot\|h\|$ +\end{itemize} +\end{proof} +``` +::: + +::: bem +- Differenzierbarkeit $\implies$ partielle Differenzierbarkeit +- Umkehrung gilt nicht +::: + +## Partielle und totale Differenzierbarkeit + +Seien $D\subseteq\R^n$ offen, $a\in D$ und $f:D\to\R$ partiell +differenzierbar in $a$. Sind alle partiellen Ableitungen +$\frac{\partial f}{\partial x_i}$ ($i=1,...,n$) stetig in $a$, so ist +$f$ total differenzierbar in $a$. + +::: proof +TODO. +::: + +::: bem +- Partielle Differenzierbarkeit gilt auch für vektorwertige Funktionen + $f:D\subseteq\R^n\to\R^m$ ($D$ offen) +- Die Stetigkeit der paritellen Ableitung ist ein hinreichendes, aber + kein notwendiges Kriterium für Differenzierbarkeit +- Alle Polynome sind differenzierbar, da die partiellen Ableitungen + alle stetig sind +::: + +## Richtungsableitung + +Sei $D\subseteq\R^n$ offen, $f:D\to\R$, $v\in\R^n$ mit $\|v\|=1$. + +$f$ heißt in $a\in D$ differenzierbar in Richtung $v$, falls +$\lim_{h\to0}\frac{f(a+hv)-f(a)}{h}$ exisitert. Der Grenzwert heißt +Richtungsableitung von $f$ in Richtung $v$ in $a$, +$\frac{\partial f}{\partial v}(a)$. + +::: bsp +- $\frac{\partial f}{\partial e_i}(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+he_i)-f(a)}{h}=\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)$ +- $f:\R^2\to\R$, + $f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy^2}{x^2+y^4}&(x,y)\ne(0,0)\\0&(x,y)=(0,0)\end{cases}$ + - Wissen: $f$ unstetig in $0\in\R^2$ + - $f$ ist in jede Richtung $v\in\R^2$, $\|v\|=1$, ableitbar in 0: + Sei + $v=(v_1,v_2)^\top\\\implies\frac{f(hv)-f(0,0)}{h}=\frac{h^2v_1v_2^2}{h\cdot h^2(v_1^2+h^2v_2^4)}\implies\frac{\partial f}{\partial v}(0,0)=\begin{cases}v_2^2/v_1&v_1\ne0\\0&v_1=0\end{cases}$ +- $f:\R^2\to\R$, $f(x,y)=x^2+y^2$, $h\to f(a+hv)$ ist eindimensionale + Funktion. TODO: Graph +::: + +### Satz + +Sei $D\subseteq\R^n$ offen, $f:D\to\R$ differenzierbar. Dann existieren +alle Richtungsableitungen von $f$ in $a\in D$ und +$$\frac{\partial f}{\partial v}(a)=f'(a)\cdot v$$ + +::: proof +```{=tex} +\begin{proof} +\begin{align*} +&\frac{f(a+hv)-f(a)}{h}-f'(a)\cdot v\\ +=&\|v\|\frac{\overbrace{f(a+hv)-f(a)-f'(a)\cdot v\cdot h}^{R(hv)}}{\|hv\|\cdot\sgn(h)}\xrightarrow{h\to0}0\\ +\implies&\frac{\partial f}{\partial v}(a)=f'(a)v +\end{align*} +\end{proof} +``` +::: + +::: bsp +$$f(x,y)=e^{xy}+x^2\implies f'(x,y)=(ye^{xy}+2x,xe^{xy})$$ Sei +$v=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)^\top$ + +$\implies\frac{\partial f}{\partial v}(x,y)=(ye^{xy+2x,xe^{xy}})\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt{2}}(e^{xy}(x+y)+2x)$ +::: + +### Satz + +Sei $D\subseteq\R^n$ offen, $f:D\to\R$ differenzierbar in $a\in D$ mit +$f'(a)\ne0$. Dann gilt: + +- $\nabla f(a)\in\R^n$ zeigt in Richtung des steilsten Anstiegs von + $f$ im Punkt $a$, d.h.: $\frac{\partial f}{\partial v}(a)$ wird für + $v=\frac{\nabla f(a)}{\|\nabla f(a)\|}$ am größten. +- Ist $D\subseteq\R^2$, so steht $\nabla f(a)$ senkrecht auf der + Niveaulinie $N_{f(a)}(f)=\{x\in D\mid f(x)=f(a)\}$ + +::: proof +```{=tex} +\begin{proof} +$\frac{\partial f}{\partial v}(a)=f'(a)\cdot v=(\nabla f(a)\mid v)=\cos\alpha\cdot\|\nabla f(a)\|$, $\alpha\in[0,2\pi)$ der Winkel, der von $\nabla f(a)$ und $v$ eingeschlossen wird. + +\begin{abc} +\item $\cos\alpha$ (und somit $\frac{\partial f}{\partial v}(a)$) maximal für $v=\frac{\nabla f(a)}{\|\nabla f(a)\|}$ +\item Sei $v\in\R^2$, $\|v\|=1$, sodass $(\partial f(a)\mid v)=0\implies\frac{\partial f}{\partial v}(a)=0$, d.h. in Richtung $v$ weißt $f$ keine Steigung auf im Punkt $a$. Somit zeight $v$ in Richtung der Niveaulinie $N_{f(a)}(f)$ +\end{abc} +\end{proof} +``` +::: + +## Satz von Schwarz + +### Stetige Differenzierbarkeit + +$D\subseteq\R$ offen, $f:D\to\R$. + +- $f$ heißt stetig differenzierbar ($f\in\mathcal{C}^1(D)$), wenn $f$ + in jedem Punkt von $D$ partiell differenzierbar ist und alle + $\frac{\partial f}{\partial x_i}$ ($i\in\{1,...,n\}$) auf $D$ stetig + sind +- $f$ heißt 2-mal stetig differezierbar ($f\in\mathcal{C}^2(D)$), wenn + $f\in\mathcal{C}^1(D)$ und alle $\frac{\partial f}{\partial x_j}$ + ($j\in\{1,...,n\}$) $\in\mathcal{C}^1(D)$. Die partielle Ableitung + von $\frac{\partial f}{\partial x_j}$ nach $x_k$ wird mit + $\frac{\partial^2f}{\partial x_2\partial x_j}$ bezeichnet (partielle + Ableitung zweiter Ordnung). Für $k=j$ schreibt man kurz + $\frac{\partial^2f}{\partial x_j^2}$. +- Analog ist $f$ $s$-mal stetig differenzierbar + ($f\in\mathcal{C}^s(D)$), wenn alle partiellen Ableitungen der + Ordnung $s$ + $\frac{\partial^sf}{\partial x_{j_s}...\partial x_{j_1}}$ existieren + und stetig sind. + +Gleiches gilt auch für vektorwertige Funktionen. + +::: bsp +$f:\R^2\to\R$, $f(x,y)=3y+xy^2$ + +$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=y^2$ und +$\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=3+2xy$. + +Dann $\frac{\partial^2f}{\partial x^2}(x,y)=0$, +$\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}(x,y)=2y=\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(x,y)$ +sowie $\frac{\partial^2f}{\partial y^2}(x,y)=2x$. +::: + +### Satz + +$D\subseteq\R^n$ offen, $f:D\to\R\in\mathcal{C}^2(D)$ + +$\implies\frac{\partial^2f}{\partial x_k\partial x_j}=\frac{\partial^2f}{\partial x_j\partial x_k}\quad\forall j,k\in\{1,...,n\}$ + +::: proof +```{=tex} +\begin{proof} +Es genügt, die Behauptung für $D\in\R^2$ zu beweisen. + +Sei $a=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}\in D$. + +Zu zeigen: $\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(a)=\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}(a)$. + +Sei $\delta>0$ mit $K_\delta(a)\subseteq D$. + +$\implies\exists\epsilon>0,0<k,k<\epsilon$, sodass $(a_1+k,a_2+k)^\top\in K_\delta(a)$. + +\begin{abc} +\item Sei $\varphi: [a_1,a_1+h]\to\R$, $\varphi(t)=f(t,a_2+k)-f(t,a_2)$. + +$\implies\exists\xi_1\in(a_1,a_1+h):\varphi(a_1+h)-\varphi(a_1)=h\cdot\varphi'(\xi_1)$ + +Setze +\begin{align*} +F(h,k)&:=\overbrace{f(a_1+h,a_2+k)-f(a_1+h,a_2)}^{\varphi(a_1+h)}-\overbrace{f(a_1,a_2+k)+f(a_1,a_2)}^{\-\varphi(a_1)}\\ +&=h\cdot\varphi'(\xi_1)\\ +&=h\bigg[\underbrace{\frac{\partial f}{\partial x}(\xi_1,a_2+k)-\frac{\partial f}{\partial x}(\xi_1,a_2)}_{\mathclap{=\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}(\xi_1,\vartheta_1)\cdot k\text{ für ein }\vartheta_1\in(a_2,a_2+k)}}\bigg]\\ +&\implies F(h,k)=h\cdot k\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}(\xi_1,\vartheta_1) +\end{align*} +\item Analog erhält man für $\psi(t):=f(a_1+h,t)=f(a_1,t)$, dass $F(h,k)=\psi(a_2+k)-\psi(a_2)$ und $F(h,k)=h\cdot k\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(\xi_2,\vartheta_2)$ für $\xi_2\in(a_1,a_1+h)$, $\vartheta\in(a_2,a_2+k)$. +\item Insgesamt folgt, da $h,k\ne0$: $\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}(\xi_1,\vartheta_1)=\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(\xi_2,\vartheta_2)$ + +$\xRightarrow{h,k\to0}\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}(a_1,a_2)$, da $f\in\mathcal{C}^2(D).$ +\end{abc} +\end{proof} +``` +::: + +::: bsp +Ist für folgende Funktion nicht erfüllt: +$$f(x,y)=\begin{cases}0&(x,y)=(0,0)\\\frac{x^3y-xy^3}{x^2+y^2}&\text{sonst}\end{cases}$$ +::: + +## Satz von Taylor + +Sei $I\subseteq\R$ ein Intervall, $x_0\in I$, $f:I\to\R$ $(k+1)$-mal +stetig differenzierbar, $k\in\N_0$. Dann git die folgende +Taylorentwicklung um $x_0$ für ein $\xi$ zwischen $x$ und $x_0$: + +$f(x)=T_k(x)+R_k(x)$ mit +$T_k(x)=\sum_{j=0}^k\frac{f^{(j)}(x_0)}{j!}(x-x_0)^j$ sowie +$R_k(x)=\frac{f^{(k+1)}(\xi)}{(k+1)!}(x-x_0)^{x+1}$ (Restglied nach +Lagrange) + +::: bem +Die Taylorreihe +$T(x):=\sum_{j=0}^\infty\frac{f^{(j)}(x_0)}{j!}(x-x_0)^j$ konvergiert +gegen $f(x)\iff\lim_{k\to\infty}R_k(x)=0$. (Vorausgesetzt $f$ ist +unendlich oft differenzierba.r) +::: + +::: bsp +Berechne $\sin(1)$ mit Fehlerdifferenz $<10^{-3}!$. + +Entwickle dazu $f(x)=\sin(x)$ um $x_0=0$. Suche $k\in\N$, sodass +$$|R_k(1)|=\frac{|f^{(k+1)}(\xi)|}{(k+1)!}|1-0|^{k+1}<\frac{1}{1000}, \xi\text{ zwischen }0\text{ und } 1.$$ + +$f(x)=\sin x$, $f'(x)=\cos x$, +$f''(x)=-\sin x, f'''(x)=-f'(x), f^{(4)}(x)=f(x)$ + +$\implies f^{(2n)}(x)=(-1)^n\sin(x)$ und $f^{(2n+1)}(x)=(-1)^n\cos(x)$ +für $n\ge0$ + +$\implies|R_k(1)|\le\frac{1}{(k+1)!}<\frac{1}{1000}$ + +$\iff (k+1)!>1000\iff k\ge6$ + +Für $k=6$ ist +`\begin{align*}\sin(1)\approx T_6(1)&=\frac{\sin0}{0!}(1-0)^0+\frac{\cos0}{1!}(1-0)^1-\frac{\sin0}{2!}(1-0)^2\pm...\pm\frac{\sin0}{6!}(1-0)^6\\&=0+1+0-\frac{1}{6}+0+\frac{1}{120}+0=\frac{101}{120}\\&\approx 0.841\end{align*}`{=tex} +::: + +### Multiindex + +$p:=(p_1,...,p_m)\in\N_0^m$ heißt Multiindex. + +$|p|:=p_1+...+p_m$ Ordnung von $p$. + +$p!:=(p_1!)\cdot...\cdot(p_m!)$ + +Für $x\in\R^m$, $x=(x_1,...,x_m)^\top$ sei +$x^P:=x_1^{P_1}\cdot...\cdot x_m^{P_m}.$ + +Ist $f$ $k$-mal stetig differenzierbar, so sei +$\partial^Pf:=\frac{\partial^{|P|}f}{\partial x_1^{P_1}...\partial x_m^{P_m}}.$ + +::: bsp +- $P=(0,...,0)\implies\partial^Pf=f$ +- $P=(1,0,...,0)\implies\partial^Pf=\frac{\partial f}{\partial x_1}$ +- $P=(1,2,0,...,0)\implies\partial^Pf=\frac{\partial^3f}{\partial x_1\partial x_2^2}$ +::: + +### Taylorpolynome + +Sei $D\subseteq\R^n$ offen, $a\in D$, $f:D\to\R$ $k$-mal stetig +differenzierbar. + +$T_k:\R^n\to\R$, +$T_k(x)=\sum_{|P|\le k}\frac{\partial^Pf(a)}{P!}(x-a)^P$ heißt $k$-tes +Taylorpolynom $f$ in $a$. $R_k(x)=f(x)-T_k(x)$ heißt $k$-tes Restglied +von $f$ in $a$. + +### Hessematrix + +Sei $D\subseteq\R^n$ offen, $f:D\to\R$ 2-mal stetig differenzierbar, +$a\in D$. Dann ist + +- $T_1(x)=\underbrace{f(a)}_{|p|=0}+\underbrace{\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(x_i-a_i)}_{|p|=1,p=(--\underbrace{1}_i--)}=f(a)+f'(a)(x-a)$ + lineare Approximation in $a$ +- $T_2(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{1}{2!}\sum_{i,j=1}^n\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}(a)(x_i-a_i)(x_j-a_j)$ + und $H_f(a):=(a_{ij})\in\M_n(\R)$, + $a_{ij}=\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}(a)$ ist die + sogenannte Hessematrix von $f$ in $a$. Damit erhält man + $$T_2(x)f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{1}{2}(x-a)^\top H_f(a)(x-a)$$ + +::: bsp +$f:\R^2\to\R$, $f(x,y)=e^x=xy$ + +$f'(x,y)=(e^x+y,x)$. + +$H_f(x,y)=\begin{pmatrix}\frac{\partial^2f}{\partial x^2}(x,y)&\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(x,y)\\\frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}(x,y)&\frac{\partial^2f}{\partial y^2}(x,y)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}e^x&1\\1&0\end{pmatrix}.$ + +Sei $a=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$. +`\begin{align*} \implies T_2(x,y)&=f(0,1)+f'(0,1)\begin{pmatrix}x-0\\y-1\end{pmatrix}+\frac{1}{2}(x-0,y-1)H_f(0,1)\begin{pmatrix}x-0\\y-1\end{pmatrix}\\ &=1+(2,0)\begin{pmatrix}x\\y-1\end{pmatrix}+\frac{1}{2}(x,y-1)\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y-1\end{pmatrix}\\ &=1+2x+\frac{1{2}}(x^2+2(y-1)x)\\ &=1+x+\frac{1}{2}x^2+xy \end{align*}`{=tex} +::: + +## Satz von Taylor für mehrdimensionale Funktionen + +Sei $D\subseteq\R^n$ offen, $f\in\mathcal{C}^{k+1}(D,\R)$ und seien +$a,x\in D$, sodass $S(a,x)=\{a+t(x-a)\mid t\in(0,1)\}\subseteq D$. Dann +existiert ein $\xi\in S(a,x)$ mit +$$R_k(x)=\sum_{|p|=k+1}\frac{\partial^Pf(\xi)}{P!}(x-a)^P.$$ +$$\text{Lagrange-Form des Restgliedes}$$ + +::: proof +```{=tex} +\begin{proof} +Sei $v=x-a$. Dann ist $S(a,x)=\{a+tv\mid t\in(0,1)\}$. + +Setze $\varphi:[0,1]\to\R$, $\varphi(t):=f(a+tv)$. +\begin{align*} +\implies\varphi'(t)&=f'(a+tv)\cdot v\\ +&=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(a+tv)v_i\\ +&=\sum_{|P|=1}\partial^Pf(a+tv)v^P.\\ +\varphi''(t)&=\sum_{i,j=1}^n\frac{\partial^2f}{\partial x_j\partial x_i}(a+tv)v_iv_j\\ +&=2\sum_{|p|=2}\frac{\partial^Pf(a+tv)}{P!}v^P\\ +&\vdots\\ +\varphi^{(k+1)}(t)&=\sum_{i_1,...,i_{k+1}=1}^n\frac{\partial^{k+1}f}{\partial x_{i_1}\dots\partial x_{i_{k+1}}}(a+tv)v_{i_1}\dots v_{i_{k+1}}\\ +&=(k+1)!\sum_{|P|=k+1}\frac{\partial^Pf(a+tv)}{P!}v^P +\end{align*} + +$\implies\exists\vartheta\in(0,1)$ mit +\begin{align*} +R_k^\varphi(1)&=\frac{\varphi^{(k+1)}(\vartheta)}{(k+1)!}(1-0)^{k+1}\\ +&=\frac{\varphi^{(k+1)}(\vartheta)}{(k+1)!} +\end{align*} +Sei $\xi:=\varphi(\vartheta)=a+\vartheta v\in S(a,x)$ +\begin{align*} +\implies R_k^\varphi(1)&=\sum_{|p|=k+1}\frac{\partial^Pf(\overbrace{a+\vartheta v}^{\mathclap{\xi}})}{P!}\underbrace{v^P}_{\mathclap{=(x-a)^P}}\\ +&=R_k(x) +\end{align*} + +Es ist +\begin{align*} +T_k^\varphi(1)&=\sum_{i=0}^k\frac{\varphi^{(i)}(0)}{i!}(1-0)^i\\ +&=\sum_{i=0}^k\sum_{|P|=i}\frac{\partial^Pf(a)}{P!}v^P\\ +&=T_k(x) +\end{align*} +$\implies\varphi(1)=R_k^\varphi(1)+T_k^\varphi(1)\iff f(\underbrace{a+v}_{\mathclap{=x}})=R_k(x)+T_k(x)$ +\end{proof} +``` +::: |