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diff --git a/exams/mathe2/hauptklausur/definitions.tex b/exams/mathe2/hauptklausur/definitions.tex deleted file mode 100644 index 1f9cca4..0000000 --- a/exams/mathe2/hauptklausur/definitions.tex +++ /dev/null @@ -1,152 +0,0 @@ -%%%% START OF PREAMBLE -% Copyright (c) 2021 Frederik, Franz, Marvin -% Copyright (c) 2022 Linus, Benny, Marvin -\usepackage[a4paper, inner=1cm, outer=1cm, top=2cm, bottom=2cm, bindingoffset=0cm]{geometry} -\usepackage{amsmath,amsthm,amssymb,amsfonts} -\usepackage{mathrsfs} -\usepackage{braket} -\usepackage{enumitem} -\usepackage{csquotes} -\usepackage{colortbl} -\usepackage{environ} -\usepackage{graphicx,tikz,xcolor,color,float,titlesec} -\usepackage{pgfplots} -\usepackage{fancyhdr} -\usepackage{gauss} -\usepackage{polynom} -\usepackage{bm} -\usepackage[ngerman=ngerman-x-latest]{hyphsubst} -\usepackage[ngerman]{babel} -\usetikzlibrary{matrix,shapes,trees} -\usepgfplotslibrary{fillbetween} -\pgfplotsset{compat=1.18} -\setlength\parindent{0pt} -\definecolor{ochsblau}{RGB}{26,122,219} -\definecolor{ochsgelb}{RGB}{245,209,168} -\definecolor{ochsorange}{RGB}{243,92,43} -\renewcommand{\headrulewidth}{2pt} -\let\oldheadrule\headrule -\renewcommand{\headrule}{\color{ochsgelb}\oldheadrule} -\newcommand\bracketify[1]{\lbrack#1\rbrack} -\titleformat{\section}{\normalfont\large\bfseries\color{ochsblau}}{Aufgabe \thesection.\ }{0em}{\bracketify} -%%%% END OF PREAMBLE - -%\usepackage{background} -%\backgroundsetup{ -% position=current page.east, -% angle=-90, -% nodeanchor=east, -% vshift=-5mm, -% hshift=1cm, -% opacity=1, -% scale=3, -% contents=Entwurf -%} - -\newcommand\namesnstuff{ - \pagestyle{fancy} - \fancyhf{} - \fancyhead[L,LO]{\textcolor{ochsblau}{\textbf{Name:}}} - \fancyhead[C,CO]{\textcolor{ochsblau}{\textbf{MFI2 - SS22}}} - \fancyhead[R,RO]{\textcolor{ochsblau}{\textbf{Hauptklausur}}} - \fancyfoot[C,CO]{\thepage} - \setlength{\headheight}{13.6pt} - - \vspace{-2.0cm} - \noindent\includegraphics[width=0.2\textwidth]{../ochs_logo.png} - \begin{minipage}[b]{0.6\textwidth} - \centering - \textcolor{ochsblau}{\textbf{\Large Mathematik 2 für Informatik}}\\ - \vspace{3mm} - Peter Ochs, Tobias Nordgauer\\ - \vspace{3mm} - Sommersemester 2022 - \end{minipage} - \noindent\includegraphics[width=0.2\textwidth]{../uni_logo.png}\\ - \begin{center}\textcolor{ochsblau}{\textbf{Hauptklausur Gedächtnisprotokoll}}\end{center} -} - -\newcommand\refiff[1]{\stackrel{\text{#1}}{\iff}} -\newcommand\refimp[1]{\stackrel{\text{#1}}{\implies}} -\newcommand\refeq[1]{\stackrel{\text{#1}}{=}} -\newcommand\refless[1]{\stackrel{\text{#1}}{<}} -\newcommand\refleads[1]{\stackrel{\text{#1}}{\leadsto}} - -\newcommand\NR{\textbf{Nebenrechnung: }} -\newcommand\proposition{\textbf{Behauptung: }} -\newcommand\toprove{\textbf{Zu zeigen: }} -\newcommand\task{\textbf{Aufgabe: }} -\newcommand\defi{\textbf{Definition: }} - -% denglish ftw -\newcommand\da{\text{ da }} -\newcommand\with{\text{ mit }} -\newcommand\und{\text{ und }} -\newcommand\oder{\text{ oder }} -\newcommand\for{\text{ für }} -\newcommand\when{\text{ wenn }} -\newcommand\sei{\text{ sei }} - -\newcommand\Real{\mathrm{Re}} % Realteil -\newcommand\Imag{\mathrm{Im}} % Imaginärteil - -\newcommand\N{\mathbb{N}} -\newcommand\R{\mathbb{R}} -\newcommand\Z{\mathbb{Z}} -\newcommand\C{\mathbb{C}} -\newcommand\Q{\mathbb{Q}} -\renewcommand\P{\mathbb{P}} -\renewcommand\O{\mathcal{O}} -\newcommand\pot{\mathcal{P}} - -\newcommand\rank{\mathrm{rank}} -\newcommand\lin{\mathrm{Lin}} -\renewcommand\det{\mathrm{det}} -\renewcommand\dim{\mathrm{dim}} - -\renewcommand\u{\boldsymbol{u}} -\renewcommand\v{\boldsymbol{v}} -\newcommand\w{\boldsymbol{w}} - -% for vertical line in gmatrix -\usepackage{etoolbox} -\makeatletter -\patchcmd\g@matrix - {\vbox\bgroup} - {\vbox\bgroup\normalbaselines} - {}{} -\makeatother -\newcommand{\gvline}{% - \hspace{-\arraycolsep}% - \strut\vrule - \hspace{-\arraycolsep}% -} - -% lol -\makeatletter -\renewenvironment{proof}[1][\proofname] {\par\pushQED{\qed}\normalfont\topsep6\p@\@plus6\p@\relax\trivlist\item[\hskip\labelsep\bfseries#1\@addpunct{.}]\ignorespaces}{\popQED\endtrivlist\@endpefalse} -\makeatother -\def\qedsymbol{\sc q.e.d.} % hmm? - -\newenvironment{induktion}{\renewcommand*{\proofname}{Beweis durch vollständige Induktion}\begin{proof}$ $\newline}{\end{proof}} -\newcommand\IA[1]{\textbf{Induktionsanfang ($#1$):}} -\newcommand\IV[1]{\textbf{Induktionsvoraussetzung:} Die Behauptung gelte für ein beliebiges aber festes $#1$.\\} -\newcommand\IS[1]{\textbf{Induktionsschritt ($#1$):}} - -\newenvironment{gegenbeweis}{\renewcommand*{\proofname}{Beweis durch Gegenbeweis}\begin{proof}}{\end{proof}} -\newenvironment{gegenbeispiel}{\renewcommand*{\proofname}{Beweis durch Gegenbeispiel}\begin{proof}}{\end{proof}} - -\NewEnviron{splitty}{\begin{displaymath}\begin{split}\BODY\end{split}\end{displaymath}} -\newcolumntype{C}{>{$}c<{$}} % math-mode column - -\DeclareMathOperator{\ggT}{ggT} - -\newlist{abc}{enumerate}{10} -\setlist[abc]{label=(\alph*)} - -\newlist{num}{enumerate}{10} -\setlist[num]{label=\arabic*.} - -\newlist{rom}{enumerate}{10} -\setlist[rom]{label=(\roman*)} - diff --git a/exams/mathe2/hauptklausur/main.pdf b/exams/mathe2/hauptklausur/main.pdf Binary files differdeleted file mode 100644 index 196e85b..0000000 --- a/exams/mathe2/hauptklausur/main.pdf +++ /dev/null diff --git a/exams/mathe2/hauptklausur/main.tex b/exams/mathe2/hauptklausur/main.tex deleted file mode 100644 index b70fc02..0000000 --- a/exams/mathe2/hauptklausur/main.tex +++ /dev/null @@ -1,55 +0,0 @@ -\documentclass[a4paper, 11pt]{article} -\input{../definitions} -\begin{document} -\namesnstuff - -\textbf{Bedingungen: 120min Zeit, einseitig beschriebenes Cheat-Sheet} - -\section{10 Punkte} -\begin{abc} - \item Bestimmen Sie $\ggT(1071, 462)$. - \item Bestimmen Sie $r,s\in\Z$, sodass $r\cdot462+s\cdot1071=\ggT(1071, 462)$. -\end{abc} - -\section{10 Punkte} -Bestimmen Sie alle Lösungen $x=(x_1,x_2,x_3,x_4)^\top\in(\Z/7\Z)^4$ des folgenden linearen Gleichungssystems über $\Z/7\Z$ und geben Sie die Lösungsmenge an: $$\begin{pmatrix}1&2&0&5\\3&1&5&2\\5&0&3&6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\4\\0\end{pmatrix}$$ -(Beachten Sie, dass alle Zahlen als Restklassen in $\Z/7\Z$ zu verstehen sind.) - -\section{4 + 4 + 2 = 10 Punkte} -Sei $A=\begin{pmatrix}3&-2&-2\\0&1&0\\1&-1&0\end{pmatrix}\in\Q^{3\times3}$ gegeben. -\begin{abc} - \item Bestimmen Sie alle Eigenwerte von $A$ und die zugehörigen Eigenräume. - \item Entscheiden Sie, ob $A$ diagonalisierbar ist und geben Sie gegebenenfalls ein $S$ und $D$ an, so dass $S^{-1}AS=D$ eine Diagonalmatrix ist. - \item Entscheiden Sie, ob $A$ invertierbar ist und geben Sie gegebenenfalls $A^{-1}$ an. -\end{abc} - -\section{3 + 4 + 3 = 10 Punkte} -Sei $V=\{a+b\sqrt{2}\mid a,b\in\Q\}$. -\begin{abc} - \item Zeigen Sei, dass $V$ ein $\Q$-Untervektorraum von $\R$ ist. - \item Bestimmen Sie eine Basis $\mathcal{B}$ von $V$ als $\Q$-Vektorraum und folgern Sie die Dimension von $V$. - \item Betrachten Sie nun den Vektorraum $U=\Q[X]_{\le 2}$ und die Basis $\mathcal{A}=(1,X,X^2)$ (dass $\mathcal{A}$ eine Basis von $U$ ist, muss nicht gezeigt werden). Sei außerdem $\varphi: U\to V,\ p(X)\mapsto p(\sqrt{2})$, eine Abbildung, die $\sqrt{2}$ anstelle von $X$ in ein Polynom einsetzt. Diese Abbildung ist linear und wohldefiniert (muss nicht gezeigt werden). Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix $M_\mathcal{A}^\mathcal{B}(\varphi)$ von $\varphi$ bezüglich der Basen $\mathcal{A}$ und $\mathcal{B}$. -\end{abc} - -\section{3 + 4 + 3 = 10 Punkte} -Sei $(V,\braket{\cdot,\cdot})$ ein Prä-Hilbert-Raum mit induzierter Norm $||v||=\sqrt{\braket{v,v}}$. Zeigen Sie, dass für alle $u,v\in V$ gilt: -\begin{abc} - \item $||u+v||^2+||u-v||^2=2(||u||^2+||v||^2)$ - \item $||u+v||=||u-v||\iff\braket{u,v}=0$ - \item Ist eine der Bedingungen in (b) erfüllt, so gilt $P_{\lin(V)}(u+v)=v$ für die Projektion von $u+v$ auf die lineare Hülle von $v$. -\end{abc} - -\section{2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 Punkte} -Entscheiden Sie über folgende Aussagen, ob sie wahr oder falsch sind. Begründen Sie ihre Antwort. -\begin{abc} - \item Jedes Element in $\Z/25\Z$ hat ein multiplikatives Inverses. - \item Das Polynom $X^4+2$ hat in $\Z/18\Z$ eine Nullstelle. - \item Die Signatur von $(1,2,3,4)\in S_5$ ist $1$. - \item Es gibt eine lineare Abbildung $\varphi: \R^4\to\R^3$, die injektiv ist. - \item Die Matrix $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ ist in $\C$ diagonalisierbar. -\end{abc} -\par\hrulefill\par -\begin{center} - \textbf{Danke für die Hilfe an alle Beteiligten.\\Keine Garantie auf Korrektheit.\\\LaTeX\ von Marvin Borner.} -\end{center} -\end{document} |